《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

11. 如图，已知△ABC 的周长为 21 cm，AB = 6 cm，BC 边上中线 AD = 5 cm，△ABD 周长为 15 cm，求 AC 的长.

答案： 7cm

12. 如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，∠B = 20°，∠C = 60°. 求∠CAD 和∠AEC 的度数.

答案： 在△ABC中，∠B=20°，∠C=60°，
∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-20°-60°=100°.
AD是高，∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，∠CAD=90°-∠C=90°-60°=30°.
AE是角平分线，∠BAE=∠CAE=∠BAC/2=100°/2=50°.
在△AEC中，∠AEC=180°-∠CAE-∠C=180°-50°-60°=70°.
∠CAD=30°，∠AEC=70°.

13. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，P 为线段 AD 上的一点，过点 P 作 PE⊥AD 交直线 BC 于点 E.
(1) 若∠B = 35°，∠ACB = 85°，求∠E 的度数；
(2) 猜想∠E 与∠B，∠ACB 之间的数量关系，并说明理由.

答案：
(1)
在$\triangle ABC$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，已知$\angle B = 35^{\circ}$，$\angle ACB = 85^{\circ}$，则$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B - \angle ACB=180^{\circ}-35^{\circ}-85^{\circ}=60^{\circ}$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC = 30^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle ADC=\angle B+\angle BAD=35^{\circ}+30^{\circ}=65^{\circ}$。
因为$PE\perp AD$，所以$\angle DPE = 90^{\circ}$。
在$\triangle DPE$中，$\angle E=90^{\circ}-\angle ADC=90^{\circ}-65^{\circ}=25^{\circ}$。
(2)
$\angle E=\frac{1}{2}(\angle ACB - \angle B)$。
理由如下：
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 180^{\circ}-\angle B-\angle ACB$。
因为$AD$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B - \angle ACB)$。
在$\triangle ABD$中，$\angle ADC=\angle B+\angle BAD=\angle B+\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B - \angle ACB)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B-\frac{1}{2}\angle ACB$。
因为$PE\perp AD$，所以$\angle DPE = 90^{\circ}$。
在$\triangle DPE$中，$\angle E=90^{\circ}-\angle ADC=90^{\circ}-(90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B-\frac{1}{2}\angle ACB)=\frac{1}{2}(\angle ACB - \angle B)$。