《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

12. 已知$a = \sqrt { 3 } + 1$，$b$为$\sqrt { 3 }$的小数部分，求$a ^ { 2 } - 3 a b + b ^ { 2 }$的值.

答案： 答题卡：
因为$1＜ 3＜ 4$，根据算术平方根的性质得$1＜ \sqrt{3}＜ 2$，
所以$b = \sqrt{3} - 1$。
$a^{2} - 3ab + b^{2}$
$=(a - b)^{2} - ab$
$a - b = (\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1)=2$
$ab = (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)$
根据平方差公式$(x+y)(x - y)=x^{2}-y^{2}$，可得$ab = (\sqrt{3})^{2}-1^{2}=2$
将$a - b = 2$，$ab = 2$代入$(a - b)^{2} - ab$可得：
$2^{2}-2$
$= 4 - 2$
$= 2$
综上，$a^{2} - 3ab + b^{2}$的值为$2$。

13. 已知$\sqrt [ 3 ] { 2 a - 3 } + \sqrt [ 3 ] { 7 - 3 a } = 0$，求$\sqrt { a + 5 } - \sqrt [ 3 ] { 1 2 - a }$的值.

答案： 由$\sqrt[3]{2a - 3} + \sqrt[3]{7 - 3a} = 0$，可得$\sqrt[3]{2a - 3}=-\sqrt[3]{7 - 3a}$，即$\sqrt[3]{2a - 3}=\sqrt[3]{3a - 7}$。
所以$2a - 3 = 3a - 7$，
移项可得$3a - 2a = 7 - 3$，
解得$a = 4$。
当$a = 4$时，$\sqrt{a + 5}-\sqrt[3]{12 - a}=\sqrt{4 + 5}-\sqrt[3]{12 - 4}$
$=\sqrt{9}-\sqrt[3]{8}$
$=3 - 2$
$=1$。

14. 实数$a$，$b$，$c$在数轴上对应点的位置如图所示，求$\sqrt [ 3 ] { a ^ { 3 } } + | a + b | - \sqrt { ( c - a ) ^ { 2 } }$的值.

答案： 由数轴可知 $a＜b＜0＜c$。
根据立方根的性质，$\sqrt[3]{a^3} = a$。
因为 $a＜b＜0$，所以 $a + b＜0$，根据绝对值的性质，$\vert a + b\vert=-(a + b)$。
因为 $c＞a$，即 $c - a＞0$，根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=\vert x\vert$，可得$\sqrt{(c - a)^2}=c - a$。
则$\sqrt[3]{a^3}+\vert a + b\vert-\sqrt{(c - a)^2}=a-(a + b)-(c - a)$
$=a - a - b - c + a$
$=a - b - c$
综上，答案为$a - b - c$。

15. 如图，数轴的正半轴上有$A$，$B$，$C$三点，点$A$，$B$表示数$1$和$\sqrt { 2 }$.点$B$到点$A$的距离与点$C$到点$O$的距离相等，设点$C$所表示的数为$x$.
(1) 请你求出数$x$的值；
(2) 若$m$为$( x - \sqrt { 2 } )$的相反数，$n$为$( x - 2 )$的绝对值，求$m + n$的整数部分的立方根.

答案：
(1)$x = \sqrt{2} - 1$；
(2)$\sqrt[3]{2}$。