《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

9. 如图，在$\triangle ABC$ 中，$AD$ 平分$\angle BAC$，$DG\bot BC$ 且平分 $BC$，$DE\bot AB$ 于点 $E$，$DF\bot AC$ 于点 $F$.
(1) 求证：$BE = CF$；
(2) 若 $AB = 8$，$AC = 6$，求 $AE$，$BE$ 的长.

答案：
(1) 连接BD、CD。
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB=DC（垂直平分线性质）。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线性质）。
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l} DB=DC \\ DE=DF \end{array}\right.$，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE=CF。
(2) 设AE=AF=x，BE=CF=y。
∵AB=AE+BE，
∴x+y=8。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴AE=AF=x。
∵AC=AF-CF，
∴x-y=6。
联立$\left\{\begin{array}{l} x+y=8 \\ x-y=6 \end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l} x=7 \\ y=1 \end{array}\right.$。
∴AE=7，BE=1。