《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

10. 已知$a,b,c$是三角形的三边长，$a=m^{2}-n^{2}$,$b=2mn$,$c=m^{2}+n^{2}$($m,n$为任意正整数，$m＞n$)，试说明$\triangle ABC$为直角三角形.

答案： 根据题意，已知三角形三边长分别为：
$a = m^2 - n^2$，
$b = 2mn$，
$c = m^2 + n^2$，
首先，计算$a^2 + b^2$的值：
$a^2 + b^2 = (m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2$
$= m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2$
$= m^4 + 2m^2n^2 + n^4$
$= (m^2 + n^2)^2$
$= c^2$
由于$a^2 + b^2 = c^2$，
根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足$a^2 + b^2 = c^2$，则该三角形是直角三角形。
因此，$\bigtriangleup ABC$是直角三角形。

11. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB=15$,$AC=13$，$D$为$BC$边上一点,$AD=12$,$CD=5$，求$BD$的长.

答案： 在$\triangle ACD$中，$AC=13$，$AD=12$，$CD=5$。
因为$AC^{2}=13^{2}=169$，$AD^{2}+CD^{2}=12^{2}+5^{2}=144 + 25=169$，
所以$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}$，
根据勾股定理的逆定理可知$\triangle ACD$是直角三角形，且$\angle ADC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle ADC = 90^{\circ}$，则$\angle ADB=90^{\circ}$，$AB = 15$，$AD = 12$。
根据勾股定理$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}$，
$AB^{2}=15^{2}=225$，$AD^{2}=12^{2}=144$，
所以$BD=\sqrt{225 - 144}=\sqrt{81}=9$。
综上，$BD$的长为$9$。

12. 如图所示是一块空地，$AD=\sqrt{5} m$,$CD=2 m$,$AB=5 m$,$BC=4 m$,$\angle ADC=90^{\circ}$.求这块空地的面积.

答案： 1. 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=√5 m，CD=2 m，由勾股定理得：AC²=AD²+CD²=(√5)²+2²=5+4=9，
∴AC=3 m。
2. 在△ABC中，AC=3 m，BC=4 m，AB=5 m，
∵3²+4²=5²，即AC²+BC²=AB²，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形，∠ACB=90°。
3. S△ADC=1/2×AD×CD=1/2×√5×2=√5 m²，S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×3×4=6 m²。
4. 空地面积=S△ADC+S△ABC=√5+6=(6+√5) m²。
(6+√5) m²