《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

7. 如图，$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，垂足分别为$E$，$F$，连接$EF$，$EF$与$AD$相交于点$G$，求证：$AD$是$EF$的垂直平分线.

答案： 证明：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴点D在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
在Rt△AED和Rt△AFD中，
∵AD=AD，DE=DF，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
∵点A、D都在EF的垂直平分线上，
∴AD是EF的垂直平分线（两点确定一条直线）。
结论：AD是EF的垂直平分线。

8. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC$的平分线与$BC$的垂直平分线$DE$交于点$E$，过点$E$作$AC$边的垂线，垂足为$N$，过点$E$作$AB$延长线的垂线，垂足为$M$.
(1) 求证：$BM = CN$；
(2) 若$AB = 2$，$AC = 8$，求$BM$的长.

答案：
(1)
证明：
因为$AE$是$\angle BAC$的平分线，$EM\perp AB$，$EN\perp AC$，
根据角平分线的性质可知$EM = EN$。
因为$DE$是$BC$的垂直平分线，
所以$EB=EC$。
在$Rt\triangle EMB$和$Rt\triangle ENC$中，
$\begin{cases}EB = EC\\EM = EN\end{cases}$
所以$Rt\triangle EMB\cong Rt\triangle ENC(HL)$，
所以$BM = CN$。
(2)
由
(1)得$EM = EN$，$BM = CN$，
在$Rt\triangle AME$和$Rt\triangle ANE$中，
$\begin{cases}AE = AE\\EM = EN\end{cases}$
所以$Rt\triangle AME\cong Rt\triangle ANE(HL)$，
所以$AM = AN$。
设$BM = CN = x$，
因为$AB = 2$，$AC = 8$，
则$AM=AB + BM=2 + x$，$AN=AC - CN=8 - x$，
所以$2 + x=8 - x$，
$2x=6$，
解得$x = 3$，
即$BM$的长为$3$。

9. 如图，$AD // BC$，$EF$垂直平分$BD$，与$AD$，$BC$，$BD$分别交于点$E$，$F$，$O$.求证：
(1) $\triangle BOF \cong \triangle DOE$；
(2) $DE = DF$.

答案：
(1)
∵EF垂直平分BD，
∴OB=OD，∠BOF=∠DOE=90°。
∵AD//BC，
∴∠OED=∠OFB。
在△BOF和△DOE中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠OFB=∠OED \\ ∠BOF=∠DOE \\ OB=OD\end{array}\right.$
∴△BOF≌△DOE(AAS)。
(2) 由
(1)得△BOF≌△DOE，
∴OE=OF。
∵EF垂直平分BD，
∴EF垂直平分BD且OE=OF，
∴DF=BF（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
又
∵△BOF≌△DOE，
∴DE=BF，
∴DE=DF。