《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

7. 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 E，F 在边 BC 上，BE = CF，点 D 在 AF 的延长线上，
AD = AC.
(1) 求证：△ABE≌△ACF；
(2) 若∠BAE = 30°,则∠ADC = 75°.

答案：
(1) 证明：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB。
∵BE=CF，
在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=AC\\ ∠B=∠ACB\\ BE=CF\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF(SAS)。
(2) 75°

8. 如图，在△AEC 和△DFB 中，∠E = ∠F，点 A，B，C，D 在同一直线上，有如下三个关系式：
① AE//DF；② AB = CD；③ CE = BF.
(1) 请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题；（用序
号写出命题书写形式：“如果⊗,⊗,那么⊗”）
(2) 选择(1)中的一个命题，说明它正确的理由.

答案：
(1)
命题1：如果①,②,那么③；
命题2：如果①,③,那么②。
(2)
选择命题1：
如果 $AE // DF$，$AB = CD$，那么 $CE = BF$。
理由：
由于 $AE // DF$，
根据平行线性质，得到 $\angle A = \angle D$。
由于 $AB = CD$，
则 $AB + BC = CD + BC$，
即 $AC = BD$。
在 $\triangle AEC$ 和 $\triangle DFB$ 中，
$\angle E = \angle F$，$\angle A = \angle D$，$AC = BD$，
根据 $AAS$ 全等条件，$\triangle AEC \cong \triangle DFB$，
因此 $CE = BF$。

9. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC，点 D 为 AB 边上一点(不与点 A，B 重合)，作射
线 CD，过点 A 作 AE⊥CD 于点 E，在线段 AE 上截取 EF = EC，连接 BF 交 CD 于点 G.
(1) 依题意补全图形；
(2) 求证：∠CAE = ∠BCD；
(3) 判断线段 BG 与 GF 之间的数量关系，并证明.

答案： （1）（图形略，需在答题卡上按题意画出：等腰直角三角形ABC，∠ACB=90°，AC=BC，D在AB上，射线CD过D，AE⊥CD于E，AE上截取EF=EC，连接BF交CD于G）
（2）证明：
∵AE⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，
∴∠CAE=∠BCD（同角的余角相等）。
（3）BG=GF。
证明：
过点B作BH⊥CD，交CD延长线于H。
∵AE⊥CD，BH⊥CD，
∴∠AEC=∠BHC=90°，AE//BH。
在△AEC和△CHB中，
∠CAE=∠BCH（已证），
∠AEC=∠CHB=90°，
AC=BC，
∴△AEC≌△CHB（AAS），
∴EC=BH。
∵EF=EC，
∴EF=BH。
∵AE//BH，
∴∠EFG=∠HBG（两直线平行，内错角相等）。
在△EFG和△HBG中，
∠EFG=∠HBG，
∠EGF=∠HGB（对顶角相等），
EF=BH，
∴△EFG≌△HBG（AAS），
∴GF=BG，即BG=GF。