《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

18. （12分）如图，在$\triangle ABC$和$\triangle DCB$中，$\angle A = \angle D = 90°$，$AC = BD$，$AC$与$BD$相交于点$O$。
(1) 求证：$\triangle ABC \cong \triangle DCB$；
(2) $\triangle OBC$是何种三角形？证明你的结论。

答案：
(1)
在 $Rt\triangle ABC$ 和 $Rt\triangle DCB$ 中，
$\begin{cases}BC = CB, \\AC = DB.\end{cases}$
因此，根据 $HL$ 定理，$Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle DCB$。
(2)
$\triangle OBC$ 是等腰三角形。
证明：
由于 $Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle DCB$，
所以$\angle OBC = \angle OCB$，
所以$OB = OC$，
因此，$\triangle OBC$ 是等腰三角形。

19. （14分）如图，在$\triangle ABC$中，$AE \perp AB$，$AF \perp AC$，$AE = AB$，$AF = AC$。
(1) $EC$与$BF$有何大小关系？说明理由；
(2) $EC$与$BF$有何位置关系？说明理由。

答案：
(1) EC = BF。理由如下：
∵ AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB = ∠FAC = 90°。
∴∠EAC = ∠EAB + ∠BAC = 90° + ∠BAC，∠BAF = ∠FAC + ∠BAC = 90° + ∠BAC。
∴∠EAC = ∠BAF。
在△EAC和△BAF中，
AE = AB，∠EAC = ∠BAF，AC = AF，
∴△EAC≌△BAF(SAS)。
∴EC = BF。
(2) EC⊥BF。理由如下：
设EC与BF交于点M，EC与AB交于点G。
∵△EAC≌△BAF，
∴∠AEC = ∠ABF。
∵AE⊥AB，
∴∠EAB = 90°，
∴∠AEC + ∠AGE = 90°。
∵∠AGE = ∠BGM(对顶角相等)，
∴∠ABF + ∠BGM = 90°。
∴∠BMG = 180° - (∠ABF + ∠BGM) = 90°。
∴EC⊥BF。

20. （15分）如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 60°$，$\triangle ABC$的角平分线$AD$，$CE$相交于点$O$。
(1) 求$\angle AOC$的度数；
(2) 求证：$OE = OD$；
(3) 猜测$AE$，$CD$，$AC$三者的数量关系，并证明。

答案：
(1)120°；
(2)见解析；
(3)AE+CD=AC，见解析。