《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

13. 在平面直角坐标系$xOy$中，对于点$P(x,y)$，若点$Q$的坐标为$(ax + y,x + ay)$，则称点$Q$是点$P$的“$a$阶派生点”（其中$a$为常数，且$a \neq 0$）.例如：点$P(1,4)$的“$2$阶派生点”为点$Q(2 × 1 + 4,1 + 2 × 4)$，即点$Q(6,9)$.
(1)若点$P$的坐标为$(3,5)$，则它的“$2$阶派生点”的坐标为(11,13)；
(2)若点$P$的“$5$阶派生点”的坐标为$( -9,3)$，求点$P$的坐标；
(3)若点$P(c + 1,2c - 1)$先向左平移$2$个单位长度，再向上平移$1$个单位长度后得到了点$P_1$，点$P_1$的“$-3$阶派生点”$P_2$位于$y$轴上，求点$P_2$的坐标.

答案：
(1)
根据“$a$阶派生点”的定义，当$a = 2$，$x = 3$，$y = 5$时，
$ax + y=2×3 + 5=11$，
$x + ay=3+2×5 = 13$。
所以点$P(3,5)$的“$2$阶派生点”的坐标为$(11,13)$。
(2)
设点$P$的坐标为$(x,y)$，因为点$P$的“$5$阶派生点”的坐标为$( -9,3)$，根据定义可得$\begin{cases}5x + y=-9\\x + 5y=3\end{cases}$
将第一个方程$5x + y=-9$乘以$5$得$25x+5y=-45$，
用$25x + 5y=-45$减去$x + 5y=3$得：
$25x+5y-(x + 5y)=-45 - 3$
$24x=-48$
$x=-2$
把$x = -2$代入$5x + y=-9$得：
$5×(-2)+y=-9$
$-10 + y=-9$
$y = 1$
所以点$P$的坐标为$(-2,1)$。
(3)
点$P(c + 1,2c - 1)$先向左平移$2$个单位长度，再向上平移$1$个单位长度后得到点$P_1(c + 1-2,2c - 1 + 1)$，即$P_1(c - 1,2c)$。
根据“$-3$阶派生点”的定义，点$P_1$的“$-3$阶派生点”$P_2$的坐标为$(-3(c - 1)+2c,c - 1-3×2c)$，即$P_2(-c + 3,-5c - 1)$。
因为点$P_2$位于$y$轴上，所以横坐标为$0$，即$-c + 3=0$，解得$c = 3$。
把$c = 3$代入$P_2$的纵坐标$-5c - 1$得：$-5×3-1=-16$。
所以点$P_2$的坐标为$(0,-16)$。
综上，答案依次为：
(1)$(11,13)$；
(2)$(-2,1)$；
(3)$(0,-16)$。