《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

7. 已知等腰三角形的周长为12，设腰长为$ x $，底边长为$ y $。
(1) 试写出$ y $关于$ x $的函数表达式，并直接写出自变量$ x $的取值范围；
(2) 当$ x = 5 $时，求出函数值。

答案：
(1)
由等腰三角形周长为$12$，可得$2x + y = 12$，
移项得$y = 12 - 2x$。
因为两腰之和大于底边，即$2x＞y$，把$y = 12 - 2x$代入得$2x＞12 - 2x$，$4x＞12$，$x ＞ 3$；
又因为底边$y＞0$，即$12 - 2x＞0$，$2x＜12$，$x ＜ 6$。
所以$y$关于$x$的函数表达式为$y = 12 - 2x$，自变量$x$的取值范围是$3 ＜ x ＜ 6$。
(2)
当$x = 5$时，$y = 12 - 2×5 = 12 - 10 = 2$。

8. 某餐厅为了追求顾客的消费满意度，推出一种“沙漏计时”免单方案，即点餐完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免单。某数学小组观察发现：该沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量$ y $（克）与流入时间$ t $（分钟）成一次函数关系（不考虑其他因素），当流入时间3分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为84克，当流入时间10分钟时，上面玻璃球所剩沙子质量为35克。
(1) 求沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量$ y $（克）与流入时间$ t $（分钟）之间的函数表达式；
(2) 求客人点餐完成后，最晚多长时间菜全部上桌。

答案：
(1) 设函数表达式为 $y = kt + b$（其中 $k \neq 0$）。
根据题意，当 $t = 3$ 时，$y = 84$；当 $t = 10$ 时，$y = 35$。
代入得：
$\begin{cases}3k + b = 84 \\10k + b = 35\end{cases}$
解这个方程组，得到：
$\begin{cases}k = -7 \\b = 105\end{cases}$
因此，沙漏在计时过程中上面玻璃球所剩沙子质量 $y$（克）与流入时间 $t$（分钟）之间的函数表达式为 $y = -7t + 105$。
(2) 沙漏上面玻璃球初始沙子质量为 $105$ 克（当 $t = 0$ 时，$y = 105$）。
当上面玻璃球的沙子全部漏完时，$y = 0$。
代入 $y = -7t + 105$，得：
$0 = -7t + 105$，
解得：
$t = 15$，
因此，客人点餐完成后，最晚 $15$ 分钟菜全部上桌。

9. 同学们通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温存在如下的关系：

(1) 若声音在空气中的传播速度$ v $为气温$ x $的一次函数，求$ v $与$ x $之间的函数表达式；
(2) 当日气温为$ 18^{\circ} C $，小明看到烟花燃放5 s后才听到声响，那么小明与燃放烟花所在地大约相距多远？

答案：
(1)设$v$与$x$之间的函数表达式为$v = kx + b$（$k\ne 0$）。
选取两组数据$(0,331)$，$(5,334)$代入函数表达式可得：
$\begin{cases}b = 331,\\5k + b = 334.\end{cases}$
将$b = 331$代入$5k + b = 334$，得$5k+331 = 334$，
移项可得$5k=334 - 331=3$，
解得$k = 0.6$。
所以$v$与$x$之间的函数表达式为$v = 0.6x + 331$。
(2)当$x = 18$时，$v=0.6× 18 + 331=10.8+331 = 341.8$（$m/s$）。
已知声音传播的时间$t = 5s$，根据路程$s = vt$，可得$s=341.8× 5 = 1709$（$m$）。
综上，答案为：
(1)$v = 0.6x + 331$；
(2)$1709m$。