《2025年评优监测课时作业八年级数学上册苏科版》

10. 某商业集团新进了40台空调，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店。两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：

设集团调配给甲连锁店$ x $台空调，集团卖出这100台电器的总利润为$ y $（元）。
(1) 求$ y $关于$ x $的函数表达式，并求出$ x $的取值范围；
(2) 为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调每台让利$ a $元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？

答案：
(1)
设调配给甲连锁店$x$台空调，则调配给甲连锁店电冰箱$(70 - x)$台；
调配给乙连锁店空调$(40 - x)$台，电冰箱$[60 - (70 - x)] = (x - 10)$台。
$y = 200x + 170(70 - x)+160(40 - x)+150(x - 10)$
$y = 200x + 11900 - 170x + 6400 - 160x + 150x - 1500$
$y = 20x + 16800$
$\begin{cases}x\geqslant0\\70 - x\geqslant0\\40 - x\geqslant0\\x - 10\geqslant0\end{cases}$
解得$10\leqslant x\leqslant40$，且$x$为整数。
所以$y$关于$x$的函数表达式为$y = 20x + 16800(10\leqslant x\leqslant40$，且$x$为整数$)$。
(2)
让利后甲连锁店空调每台利润为$(200 - a)$元，$200 - a＞170$，即$a ＜ 30$。
此时$y=(200 - a)x + 170(70 - x)+160(40 - x)+150(x - 10)$
$y=(200 - a)x + 11900 - 170x + 6400 - 160x + 150x - 1500$
$y=(20 - a)x + 16800$
①当$0 ＜ a ＜ 20$时，$20 - a＞0$，$y$随$x$的增大而增大，$x = 40$时，$y$有最大值，调配方案为甲连锁店空调$40$台，电冰箱$30$台，乙连锁店空调$0$台，电冰箱$30$台（原调配乙连锁店电冰箱$x - 10 = 30$台）。
②当$a = 20$时，$y = 16800$，$x$在$10\leqslant x\leqslant40$，且$x$为整数时，$y$值不变，调配方案有多种。
③当$20 ＜ a ＜ 30$时，$20 - a＜0$，$y$随$x$的增大而减小，$x = 10$时，$y$有最大值，调配方案为甲连锁店空调$10$台，电冰箱$60$台，乙连锁店空调$30$台，电冰箱$0$台。