《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版》

1. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD$ 是斜边 $AB$ 上的高,$\angle ACD = 30^{\circ}$,那么下列结论正确的是(B)

A.$AD = \frac{1}{2}CD$
B.$AC = \frac{1}{2}AB$
C.$BD = \frac{1}{2}BC$
D.$CD = \frac{1}{2}AB$

答案： B

2. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$\angle B = 30^{\circ}$,$P$ 是 $BC$ 边上的动点,则 $AP$ 的长可能是(A)

A.$5$
B.$6.2$
C.$7.8$
D.$8$

答案： A 解析 根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.
∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，
∴AB=6，
∴AP的长不能大于6.故选A.

3. 如图,已知 $AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线,$\angle 1 = 2\angle 2$,$CE\perp AD$ 于点 $E$,$BF\perp AD$,交 $AD$ 的延长线于点 $F$。若 $EF = 6$,则 $BC = $12。

答案： 12 解析
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD.
∵CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠CED=∠F=90°.
∵在△CDE和△BDF中，$\left\{\begin{array}{l} ∠CED=∠BFD,\\ ∠2=∠BDF,\\ CD=BD,\end{array}\right. $
∴△CDE≌△BDF(AAS)，
∴DE=DF=$\frac {1}{2}$EF=3.
∵∠1=2∠2，∠1+∠2=180°，
∴∠2=60°，
∴∠DCE=30°，
∴CD=2DE=6，
∴BC=2CD=12.

4. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle B = 90^{\circ}$,$\angle ACB = 60^{\circ}$,$DE$ 是斜边 $AC$ 的垂直平分线,分别交 $AB$,$AC$ 于 $D$,$E$ 两点。若 $BD = 2$,求 $AD$ 的长。

答案： 解
∵∠ACB=60°，∠B=90°，
∴∠A=30°.
∵DE是斜边AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∴∠BCD=30°.
∵BD=2，
∴AD=CD=4.

5. 上午 $8$ 时,一条船从海岛 $A$ 出发,以 $15$ 海里/时的速度向正北航行,上午 $10$ 时到达海岛 $B$ 处,从 $A$,$B$ 望灯塔 $C$,测得 $\angle NAC = 30^{\circ}$,$\angle NBC = 60^{\circ}$。
(1) 求从海岛 $B$ 到灯塔 $C$ 的距离；
(2) 这条船继续向正北航行,在什么时间小船与灯塔 $C$ 的距离最短？

答案：
解（1）
∵∠NBC=60°，∠NAC=30°，
∴∠ACB=60°-30°=30°，
∴AB=BC.
∵AB=15×2=30（海里），
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里.（2）如图，过点C作CP⊥AN于点P，故小船在点P处与灯塔C的距离最短.
∵∠NBC=60°，∠BPC=90°，
∴∠PCB=90°-60°=30°，
∴PB=$\frac {1}{2}$BC=15（海里），15÷15=1（小时），
∴这条船继续向正北航行，在上午的11时小船与灯塔C的距离最短.

6. 如图,已知 $\angle O = 60^{\circ}$,点 $P$ 在边 $OA$ 上,$OP = 8$,点 $M$,$N$ 在边 $OB$ 上,$PM = PN$,若 $MN = 2$,求 $ON$ 的长。

答案：
解 过点P作PD⊥OB于点D，
∵∠ODP=90°，∠O=60°，
∴∠OPD=30°，
∴OD=$\frac {1}{2}$OP=$\frac {1}{2}$×8=4.
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND=$\frac {1}{2}$MN=1，
∴ON=OD+DN=4+1=5.