《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版》

角的平分线的判定
(1)角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
(2)三角形的三条角平分线交于一点,这一点到三角形三边的距离相等.

答案：
(1)角的平分线　
(2)一点　相等

典例 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle C = 90^{\circ} $, $ D $ 是 $ AC $ 上一点, $ DE \perp AB $ 于点 $ E $,且 $ DE = DC $.
(1)求证： $ BD $ 平分 $ \angle ABC $；
(2)若 $ \angle A = 36^{\circ} $,求 $ \angle DBC $ 的度数.

答案：
(1)证明
∵DC⊥BC, DE⊥AB, DE = DC,
∴ 点 D 在 ∠ABC 的平分线上,
∴ BD 平分 ∠ABC.
(2)解
∵∠C = 90°, ∠A = 36°,
∴∠ABC = 54°.
∵ BD 平分 ∠ABC,
∴∠DBC = 1/2 ∠ABC = 27°.

举一反三 如图,在 $ \triangle ABC $ 中, $ D $ 是 $ BC $ 的中点, $ DE \perp AB $, $ DF \perp AC $,垂足分别是 $ E $, $ F $, $ BE = CF $. 求证： $ AD $ 平分 $ \angle BAC $.

答案： 证明
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，{BD=CD,BE=CF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),
∴DE=DF.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴AD平分∠BAC.