《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版》

等腰三角形的判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简写成“等角对等边”).

答案： 相等 等边

典例1 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,EG//AD,找出图中的等腰三角形,并给出证明.

答案： △AEF是等腰三角形。
证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD（角平分线定义）。
∵EG//AD，
∴∠AFE=∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∠E=∠CAD（两直线平行，同位角相等）。
∴∠AFE=∠E（等量代换）。
∴AE=AF（等角对等边）。
∴△AEF是等腰三角形。

举一反三 如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为D,DE//AC. △BDE是等腰三角形吗？请说明理由.

答案： 解 △BDE是等腰三角形.
∵DE//AC，
∴∠CAD=∠ADE.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD.
∴∠BAD=∠ADE.
∵AD⊥BD，
∴∠BAD+∠B=90°，∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE.
∴BE=DE.
∴△BDE是等腰三角形.

典例2 利用直尺和圆规作图：已知线段a,求作等腰三角形ABC,使AB= AC,BC= a,高AD= $\frac{1}{2}$a.

答案：

(1)作 BC=a.

(2)作线段 $ BC $ 的垂直平分线 $ MN $，与 $ BC $ 相交于点 $ D $。

(3)在 $ DM $ 上取一点 $ A $，使 $ DA = BD = \frac{1}{2}a $。

(4)连接 $ AB $，$ AC $，则 $ \triangle ABC $ 就是所求作的等腰三角形。

举一反三 如图,已知线段a,b,求作等腰三角形ABC,使腰长为b,底边上的高为a(a ＜ b).

答案：
作法:如图.
(1)在平面内画一条水平直线MN，以直线外一点为圆心画弧，交MN于P，Q两点，作线段PQ的垂直平分线EF，交MN于点D.
(2)在射线DE上取一点C，使DC=a.
(3)以点C为圆心，b为半径画弧交MN于点A，B.
(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形.