《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版》

1. 作已知角的平分线
已知∠AOB,求作∠AOB的平分线。

作法：如图,已知∠AOB。
(1)以点O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于点M,交OB于点N。
(2)分别以点M,N为圆心,大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C。
(3)作射线OC。射线OC即为∠AOB的平分线。

答案： 大于$\frac{1}{2}MN$ 内部

2. 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离相等。

答案： 相等

典例1 如图,已知∠AOB内一点C及线段a,在∠AOB内求作一点P,使点P到射线OA和OB的距离相等,且PC = a。

答案：

$(1)$以点$O$为圆心，适当长为半径作弧，交$OA$于点$M，$交$OB$于点$N。$　　

$(2）$分别以点$M，$$N$为圆心，大于$\frac12$$MN$的长为半径作弧，两弧在$∠AOB$内相交于点$D.$　　

$(3)$作射线$OD.$　　

$(4)$以点$C$为圆心，$a$为半径作圆交射线$OD$于点$P,P’，$则点$P,P’$就是所求作的点$.$　　

举一反三 如图,∠A = 90°。利用直尺和圆规,在边AC上找一点P,使点P到边AB和BC的距离相等。

答案：
作法如图.
(1)以点B为圆心，适当长为半径作弧，交BA于点M，交BC于点N;
(2)分别以点M,N为圆心，以大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径作弧,两弧在∠ABC内部相交于点D;
(3)作射线BD,交AC于点P.点P 就是所求作的点.

典例2 如图,在△ABC中,∠A = 90°,BD平分∠ABC,AD = 3 cm,BC = 10 cm,求△DBC的面积。

答案： 【解析】：过点D作DE⊥BC于点E。
∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，
∴DE=AD=3cm（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∵BC=10cm，
∴△DBC的面积为$\frac{1}{2}×BC×DE=\frac{1}{2}×10×3=15cm^{2}$。
【答案】：15cm²