《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版》

含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于 $30^{\circ}$,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

答案： 一半

典例 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$AB = AC$,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$AD\perp AC$ 交 $BC$ 于点 $D$,求证 $BC = 3AD$。

答案：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-120°)/2=30°。
∵AD⊥AC，
∴∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°。
∵∠B=30°，∠BAD=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD。
在Rt△ADC中，∠C=30°，∠DAC=90°，
∴AD=1/2 DC（30°角所对直角边等于斜边一半），
∴DC=2AD。
∵BC=BD+DC，BD=AD，DC=2AD，
∴BC=AD+2AD=3AD。
即BC=3AD。

举一反三 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle C = 60^{\circ}$,$AD$ 是 $BC$ 边上的高,$E$ 为 $AD$ 的中点,连接 $BE$ 并延长交 $AC$ 于点 $F$。若 $\angle AFB = 90^{\circ}$,$EF = 2$,求 $BF$ 的长。

答案： 解：
∵在△ABC中，∠C=60°，AD是BC边上的高，
∴∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°.
∵∠AFB=90°，EF=2，
∴AE=2EF=4.
∵点E为AD的中点，
∴DE=AE=4.
∵∠C=60°，∠BFC=90°，
∴∠EBD=30°，
∴BE=2DE=8，
∴BF=BE+EF=8+2=10.