《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版》

完全平方公式
两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2 倍.
用字母表示为$(a + b)^2 = $$a^{2}+2ab+b^{2}$,$(a - b)^2 = $$a^{2}-2ab+b^{2}$.

答案： 平方和 2 倍 $a^{2}+2ab+b^{2}$ $a^{2}-2ab+b^{2}$

典例1 运用完全平方公式计算：
(1)$(2x + 3y)^2$；
(2)$(\frac{1}{3}m - \frac{1}{2}n)^2$；
(3)$(3x - y)^2 - (x - 2y)(x + 2y)$.

答案：
(1) $(2x + 3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$
(2) $(\frac{1}{3}m - \frac{1}{2}n)^2 = (\frac{1}{3}m)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}m \cdot \frac{1}{2}n + (\frac{1}{2}n)^2 = \frac{1}{9}m^2 - \frac{1}{3}mn + \frac{1}{4}n^2$
(3) $(3x - y)^2 - (x - 2y)(x + 2y)$
$= (9x^2 - 6xy + y^2) - (x^2 - 4y^2)$
$= 9x^2 - 6xy + y^2 - x^2 + 4y^2$
$= 8x^2 - 6xy + 5y^2$

举一反三 运用完全平方公式计算：
(1)$(-cd + \frac{1}{2})^2$；
(2)$(-a - b)^2$；
(3)$(4x + 3y)(3y - 4x) - (4x + 3y)^2$.

答案： 解（1）$(-cd+\frac{1}{2})^{2}=$
$(\frac{1}{2}-cd)^{2}=(\frac{1}{2})^{2}-2\cdot (cd)\cdot (\frac{1}{2})+$
$(cd)^{2}$
$=\frac{1}{4}-cd+c^{2}d^{2}$.
（2）$(-a-b)^{2}=[-(a+b)]^{2}$
$=(a+b)^{2}$
$=a^{2}+2ab+b^{2}$.
（3）$(4x+3y)(3y-4x)-(4x+3y)^{2}$
$=9y^{2}-16x^{2}-16x^{2}-24xy-9y^{2}$
$=-32x^{2}-24xy$.