《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版》

4. 如图,在平面直角坐标系中,点 $ A $ 坐标为 $ (4,2) $,点 $ B $ 坐标为 $ (1,-3) $,在 $ y $ 轴上有一点 $ P $ 使 $ PA + PB $ 的值最小,则点 $ P $ 的坐标为( )


A.$ (2,0) $
B.$ (-2,0) $
C.$ (0,2) $
D.$ (0,-2) $

答案：
D 解析 如图,设过点 A,且分别与 x 轴、y 轴垂直的直线分别交 x 轴、y 轴于点 H,E,作点 B 关于 y 轴的对称点 B',BB'交 y 轴于点 D,直线 AH,BB'交于点 C,连接 AB',交 y 轴于点 P,此时 AP+PB=AP+PB'=AB'的值最小.

∵点 B 坐标为(1,-3),
∴B'(-1,-3),
∴B'C=AC=5,
∴∠AB'C=45°,
∴PD=B'D=1.
∵OD=|-3|=3,
∴OP=2,
∴P(0,-2).
故选 D.

5. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC = 10 $,$ \triangle ABC $ 的面积是 40,$ AD $ 平分 $ \angle BAC $。若 $ P $,$ Q $ 分别是 $ AD $ 和 $ AC $ 上的动点,则 $ PC + PQ $ 的最小值是8。

答案： 8

6. 已知 $ M $,$ N $ 两地间隔两条河流,第一条河流的河岸为直线 $ j $,$ k $,第二条河流的河岸为直线 $ l $,$ g $,所有的河岸皆平行。现要在两条河上分别修两座桥 $ AB $,$ CD $,两座桥修在何处,才能使从 $ M $ 到 $ N $ 的路径 $ M - A - B - C - D - N $ 最短？且河上的桥必须与河岸垂直。(要求：保留作图痕迹,不写画法)

答案：
解 如图,两座桥 AB,CD 即为所求.

7. 如图,在 $ \triangle ABC $ 区域内,小羊从路边 $ AB $ 某点出发跑到水沟边 $ AC $ 喝水,然后跑向路边 $ BC $ 吃草,再跑回到出发点处休息,为使所跑总路程最短,小羊应从 $ AB $ 边上的哪一点出发？又按怎样的路线奔跑？

答案：
解 如图①,在 AB 上取一点 P.作点 P 关于 AC 的对称点 P',关于 BC 的对称点 P'',连接 CP,CP',CP'',P'P'',P'P''交 AC 于点 K,交 BC 于点 T,

由对称性可知,CP'=CP=CP'',∠P'CA=∠PCA,∠P''CB=∠PCB,PK=P'K,PT=P''T,
∴PK+KT+PT=P'K+KT+P''T.
∵P',K,T,P''共线,
∴从点 P 出发,此时 PK+KT+PT=P'P''最小.
∵∠P'CA=∠PCA,∠P''CB=∠PCB,
∴∠P'CA+∠P''CB=∠PCA+∠PCB=∠ACB,
∴∠P'CP''=2∠ACB,
∴△P'CP''是顶角固定的等腰三角形.
当腰长最小时,底边 P'P''最小,即当 CP 最小时,小羊奔跑的路线最短,如图②,

∴过点 C 作 AB 的垂线,垂足 P 即为小羊出发的点,此时沿路线 P→K→T→P 奔跑,所跑总路程最短.