《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版》

平方差公式
两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.用字母表示为$(a + b)(a - b) = $$a^{2}-b^{2}$.

答案： 平方差 $a^{2}-b^{2}$

典例 1 利用平方差公式计算：
(1)$(3x + 5y)(3x - 5y)$；
(2)$(0.5b + a)(-0.5b + a)$；
(3)$(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x)\cdot(3x + 4y)$.

答案：
(1) $(3x + 5y)(3x - 5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2$
(2) $(0.5b + a)(-0.5b + a) = (a + 0.5b)(a - 0.5b) = a^2 - (0.5b)^2 = a^2 - 0.25b^2$
(3) $(2x - 3y)(3y + 2x) - (4y - 3x)(3x + 4y)$
$= (2x)^2 - (3y)^2 - [(4y)^2 - (3x)^2]$
$= 4x^2 - 9y^2 - (16y^2 - 9x^2)$
$= 4x^2 - 9y^2 - 16y^2 + 9x^2$
$= 13x^2 - 25y^2$

举一反三 利用平方差公式计算：
(1)$(x + 6)(6 - x)$；
(2)$\left(-x + \dfrac{1}{2}\right)\left(-x - \dfrac{1}{2}\right)$；
(3)$2(a - 2b)(2a + b) - (2a + b)\cdot(2a - b)$.

答案： 解（1）$(x+6)(6-x)=6^{2}-x^{2}=36-x^{2}$.
（2）$(-x+\frac{1}{2})(-x-\frac{1}{2})$
$=(-x)^{2}-(\frac{1}{2})^{2}$
$=x^{2}-\frac{1}{4}$.
（3）$2(a-2b)(2a+b)-(2a+b)(2a-b)$
$=2(2a^{2}+ab-4ab-2b^{2})-(4a^{2}-b^{2})$
$=4a^{2}+2ab-8ab-4b^{2}-4a^{2}+b^{2}$
$=-6ab-3b^{2}$.