《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版》

6. 如图,△ABC 为等边三角形,M 是线段 BC 上的任意一点,N 是线段 CA 上的任意一点,且 BM= CN,BN 与 AM 交于点 Q。
(1)求证△BAN≌△ACM；
(2)求∠BQM 的大小。

答案：
(1)证明 $\because \triangle ABC$ 为等边三角形，
$\therefore AB=BC=CA$, $\angle BAC=\angle BCA=60°$.
$\because BM=CN$, $\therefore CM=AN$.
$\because$ 在 $\triangle BAN$ 和 $\triangle ACM$ 中，
$\begin{cases} BA=AC, \\ \angle BAN=\angle ACM, \\ AN=CM, \end{cases}$
$\therefore \triangle BAN \cong \triangle ACM(SAS)$.
(2)解 $\because$ 由
(1)知 $\angle CAM=\angle ABN$,
$\therefore \angle BQM=\angle ABN+\angle BAQ=\angle CAM+\angle BAQ=\angle BAC=60°$.

7. 如图,在等边三角形 ABC 中,点 E 在边 AB 上,点 D 在 CB 的延长线上,且 ED= EC,试确定线段 AE 与 DB 的大小关系,并说明理由。

答案：
解 $AE=DB$, 理由：
过点 $E$ 作 $EF // BC$ 交 $AC$ 于点 $F$.

$\because \triangle ABC$ 是等边三角形，
$\therefore \angle ABC=\angle ACB=\angle BAC=60°$, $AB=AC=BC$.
$\because EF // BC$,
$\therefore \angle AEF=\angle AFE=60°$, $\angle FEC=\angle ECD$,
$\therefore \triangle AEF$ 是等边三角形，
$\therefore \angle DBE=\angle EFC=120°$.
$\because ED=EC$,
$\therefore \angle EDC=\angle ECD$,
$\therefore \angle EDB=\angle CEF$.
$\because$ 在 $\triangle EDB$ 和 $\triangle CEF$ 中，
$\begin{cases} \angle EBD=\angle CFE, \\ \angle EDB=\angle CEF, \\ ED=CE, \end{cases}$
$\therefore \triangle EDB \cong \triangle CEF(AAS)$,
$\therefore DB=EF$.
$\because \triangle AEF$ 是等边三角形，
$\therefore EF=AE$, $\therefore AE=DB$.