《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版》

典例 1 如图,有一个厚薄均匀的三角形硬纸板,现在将硬纸板水平放置,并在其上选一点,钻一个小孔,通过小孔系一条线,沿竖直方向将三角形硬纸板吊起,使其保持水平状态,若此时三角形硬纸板处于平衡状态,则这一点可能是(A)

A.点 $ N $
B.点 $ M $
C.点 $ P $
D.点 $ Q $

答案： A

举一反三 画出正方形 $ ABCD $ 的重心。

答案：
解 如图,点 O 就是所求作的点.

典例 2 在平面直角坐标系中,有一个由两个均匀薄板组成的组合体,其中一个是边长为 2 的正方形薄板,其一个顶点位于坐标原点 $ O_{1}(0,0) $,且两条边分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴重合；另一个是半径为 1 的圆形薄板,圆心坐标为 $ O_{2}(3,2) $。求该平面组合体的重心坐标。

答案： 1. 正方形薄板：边长为2，重心坐标为(1,1)，面积$S_1 = 2×2 = 4$。
2. 圆形薄板：半径为1，圆心坐标(3,2)即重心坐标，面积$S_2 = π×1^2 = π$。
3. 组合体重心坐标：
$X = \frac{S_1x_1 + S_2x_2}{S_1 + S_2} = \frac{4×1 + π×3}{4 + π} = \frac{4 + 3π}{4 + π}$
$Y = \frac{S_1y_1 + S_2y_2}{S_1 + S_2} = \frac{4×1 + π×2}{4 + π} = \frac{4 + 2π}{4 + π}$
4. 重心坐标为$\left( \frac{4 + 3π}{4 + π}, \frac{4 + 2π}{4 + π} \right)$。

举一反三 已知在平面直角坐标系上,有一个由直角三角形和长方形组成的组合体,直角三角形的直角边长均为 4,重心坐标为 $ (\frac{4}{3},\frac{4}{3}) $,长方形的长为 6,宽为 3,重心坐标为 $ (5,\frac{7}{2}) $,求这个平面组合体的重心坐标。

答案： 解 设该平面组合体的重心坐标为$G(x,y)$,直角三角形和长方形的重心坐标分别为$G_{1}(x_{1},y_{1}),G_{2}(x_{2},y_{2})$,面积分别为$S_{1},S_{2},$
由题意,得$x_{1}=\frac {4}{3},y_{1}=\frac {4}{3},x_{2}=5,y_{2}=\frac {7}{2},S_{1}=\frac {1}{2}×4×4=8,S_{2}=6×3=18,$
则$x=\frac {S_{1}}{S_{1}+S_{2}}x_{1}+\frac {S_{2}}{S_{1}+S_{2}}x_{2}=\frac {8}{8+18}×\frac {4}{3}+\frac {18}{8+18}×5=\frac {151}{39},$
$y=\frac {S_{1}}{S_{1}+S_{2}}y_{1}+\frac {S_{2}}{S_{1}+S_{2}}y_{2}=\frac {8}{8+18}×\frac {4}{3}+\frac {18}{8+18}×\frac {7}{2}=\frac {17}{6},$
故该平面组合体的重心坐标为$G(\frac {151}{39},\frac {17}{6}).$