《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版》

平方差公式
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积. 用字母表示为 $ a^{2}-b^{2}= $$(a+b)(a-b)$.

答案： 和 差 $(a+b)(a-b)$

典例 把下列各式分解因式：
(1) $ 4a^{2}-\frac{1}{9}b^{2} $；
(2) $ x^{4}-4y^{2} $；
(3) $ -9(x+y)^{2}+(x-y)^{2} $.

答案：
(1)
解：原式$ = (2a)^{2} - (\frac{1}{3}b)^{2}$
$=(2a + \frac{1}{3}b)(2a - \frac{1}{3}b)$
(2)
解：原式$ = (x^{2})^{2} - (2y)^{2}$
$=(x^{2} + 2y)(x^{2} - 2y)$
(3)
解：原式$=(x - y)^{2} - 9(x + y)^{2}$
$=[ (x - y) + 3(x + y) ][ (x - y) - 3(x + y) ]$
$=(x - y + 3x + 3y)(x - y - 3x - 3y)$
$=(4x + 2y)(-2x - 4y)$
$=-4(2x + y)(x + 2y)$

举一反三 把下列各式分解因式：
(1) $ 16-x^{2} $；
(2) $ (a-b)^{2}-1 $；
(3) $ (2x+y)^{2}-(x+2y)^{2} $.

答案： 解
(1)$16-x^{2}$
$=4^{2}-x^{2}$
$=(4+x)(4-x).$
(2)$(a-b)^{2}-1$
$=[(a-b)+1][(a-b)-1]$
$=(a-b+1)(a-b-1).$
(3)$(2x+y)^{2}-(x+2y)^{2}$
$=(2x+y+x+2y)(2x+y-x-2y)$
$=(3x+3y)(x-y)$
$=3(x+y)(x-y).$