《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版》

典例 3 如图,在$\triangle ABC$中,$AD平分\angle CAB$,$BD\perp AD$,$DE// AC$。求证$AE = BE$。

答案： 证明：
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD。
∵DE//AC，
∴∠CAD=∠ADE（两直线平行，内错角相等）。
∴∠BAD=∠ADE（等量代换）。
∴AE=DE（等角对等边）。
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°。
∴∠BAD+∠ABD=90°（直角三角形两锐角互余），
∠ADE+∠EDB=90°（平角定义）。
∴∠ABD=∠EDB（等角的余角相等）。
∴BE=DE（等角对等边）。
∴AE=BE（等量代换）。

典例 4 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\angle BAC = 120^{\circ}$,$D$,$F分别为AB$,$AC$的中点,且$DE\perp AB$,$FG\perp AC$,点$E$,$G在BC$上,$BC = 18\ cm$,求线段$EG$的长。

答案： 6cm

典例 5 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 30^{\circ}$,$DE垂直平分AC$,点$O在DE$上,$\angle OAB = \angle OBA$。
(1) 求证：$\triangle OAB$是等边三角形。
(2) 若$OD = 2$,$OE = 4$,求$BE$的长。

答案：

(1)证明

∵ $DE$ 垂直平分 $AC$，
∴ $OA = OC$，$\angle OAC=\angle OCA$。

∵ $\angle OAB=\angle OBA$，

∴ $OA = OB$，
∴ $OC = OB$，
∴ $\angle OBC=\angle OCB$。

∵ $\angle ACB=\angle OCA+\angle OCB = 30^{\circ}$，

∴ $\angle OAC+\angle OBC = 30^{\circ}$，

∴ $\angle OAB=\angle OBA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2×30^{\circ}) = 60^{\circ}$，
∴ $\triangle OAB$ 是等边三角形。

(2)解

过点 $O$ 作 $OF\perp BC$ 于点 $F$，

∵ $OD = 2$，$OE = 4$，
∴ $DE = OD + OE = 6$。

∵ $\angle ACB = 30^{\circ}$，$\angle CDE = 90^{\circ}$，
∴ $CE = 2DE = 12$，$\angle CED = 60^{\circ}$，
∴ $\angle EOF = 30^{\circ}$，

∴ $EF=\frac{1}{2}OE = 2$，
∴ $CF = 10$。

∵ $OC = OB$，$OF\perp BC$，
∴ $BC = 2CF = 20$，
∴ $BE = BC - CE = 20 - 12 = 8$。