《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版》

1. 如图,在 $ CD $ 上作一点 $ P $,使它到 $ OA $, $ OB $ 的距离相等,则点 $ P $ 是(C)

A.线段 $ CD $ 的中点
B.$ \triangle OCD $ 的边 $ CD $ 上的高与 $ CD $ 的交点
C.$ CD $ 与 $ \angle AOB $ 的平分线的交点
D.以上答案都不对

答案： C

2. 如图, $ PM = PN $, $ \angle BOC = 30^{\circ} $,则 $ \angle AOB = $60°.

答案： 60°

3. 如图,在平面内画 $ \angle AOB $,在 $ OA $, $ OB $ 上分别截取 $ OD $, $ OE $,使 $ OD = OE $,过点 $ D $ 作 $ OD $ 的垂线,过点 $ E $ 作 $ OE $ 的垂线. 若两条垂线相交于点 $ P $,则点 $ P $ 在 $ \angle DOE $ 的平分线上吗？为什么？

答案： 解 点P在∠DOE的平分线上，理由:
∵OD⊥PD,OE⊥PE,OD=OE,
∴PO平分∠DPE，即∠DPO=∠EPO,
∵DP⊥OD,PE⊥OE,
∴90°−∠DPO=90°−∠EPO,即∠DOP=∠EOP,
∴OP为∠DOE的平分线，即点P在∠DOE的平分线上.

4. 如图, $ \angle ADC + \angle ABC = 180^{\circ} $, $ DC = BC $. 求证：点 $ C $ 在 $ \angle DAB $ 的平分线上.

答案： 证明 如图,作CE垂直AB,CF垂直AD的延长线，垂足分别为E,F，
∴∠BEC=∠DFC=90°.
∵∠ADC+∠ABC=180°,∠ADC+∠CDF=180°,
∴∠ABC=∠CDF.在△CBE和△CDF中，{∠EBC=∠FDC,∠BEC=∠DFC,BC=DC,
∴△CBE≌△CDF(AAS),
∴FC=EC,
∴点C在∠DAB的平分线上.

5. 如图,在 $ \angle AOB $ 的两边 $ OA $, $ OB $ 上分别取 $ OM = ON $, $ OD = OE $, $ DN $ 和 $ EM $ 相交于点 $ C $. 求证：点 $ C $ 在 $ \angle AOB $ 的平分线上.

答案： 证明 过点C作CG⊥OA于点G，CF⊥OB于点F,如图，在△MOE和△NOD中，{OM=ON,∠MOE=∠NOD,OE=OD,
∴△MOE≌△NOD(SAS),
∴S△MOE=S△NOD,即S△MDC=S△NEC.
∵OM=ON,OD=OE,
∴MD=NE,
∴CG=CF.
∵CG⊥OA,CF⊥OB,
∴点C在∠AOB的平分线上.