《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版》

1. 如图,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为 C,D,若要根据“HL”证明 Rt△ABC 与 Rt△BAD 全等,则还需要添加一个条件是(C)

A.∠CAB = ∠DBA
B.AB = BD
C.BC = AD
D.∠ABC = ∠BAD

答案： C

2. 如图,AB = DE,AD⊥BE,垂足 C 是 BE 的中点. 求证 AB//DE。

答案： 证明
∵AD⊥BE，
∴∠ACB=∠DCE=90°.
∵C 是 BE 的中点，
∴BC=CE.在 Rt△ABC 和 Rt△DEC 中，$\left\{\begin{array}{l} AB=DE,\\ BC=EC,\end{array}\right. $
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)，
∴∠B=∠E，
∴AB//DE.

3. 如图,小明和小芳以相同的速度分别同时从点 A,B 出发,小明沿 AC 行走,小芳沿 BD 行走,两人分别同时到达点 C,D,且 CB⊥AB,DA⊥AB。

(1)CB 与 DA 相等吗？为什么？
(2)若∠DAC = 60°,求∠DBA 的度数。

答案： 解
(1)CB=DA，理由：由题意可得 AC=BD，
∵CB⊥AB，DA⊥AB，
∴∠ABC=∠BAD=90°.在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，$\left\{\begin{array}{l} AC=BD,\\ AB=BA,\end{array}\right. $
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，
∴CB=DA.
(2)由题意可得∠CAB=90°-60°=30°，又 Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠DBA=∠BAC=30°.

4. 如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为 D,E,BE 与 CD 相交于点 O。
如果 AB = AC,那么图中全等的直角三角形的对数是(C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： C

5. 如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC = ∠ADC = 90°,BE⊥AC 于点 E,DF⊥AC 于点 F,CF = AE,BC = DA。求证 BE = DF。

答案： 证明 在 Rt△ADC 和 Rt△CBA 中，$\left\{\begin{array}{l} DA=BC,\\ AC=CA,\end{array}\right. $
∴Rt△ADC≌Rt△CBA(HL)，
∴DC=BA.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°.在 Rt△ABE 和 Rt△CDF 中，$\left\{\begin{array}{l} AE=CF,\\ AB=CD,\end{array}\right. $
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)，
∴BE=DF.