《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版》

典例 3
如图,在△ABC 中,CD 平分∠BCA,CD 交 AB 于点 E,在 AE 上取一点 F,连接 DF,使∠1= ∠D。
(1)求证 $ DF // BC $；
(2)当 $ \angle A = 36^{\circ} $,$ \angle DFE = 34^{\circ} $时,求∠2 的度数。

答案：

(1)证明：

∵ $CD$ 平分 $\angle BCA$，

∴ $\angle DCB=\angle 1$。

∵ $\angle 1 = \angle D$，

∴ $\angle DCB=\angle D$，

∴ $DF// BC$。

(2)解：

∵ $DF// BC$，$\angle DFE = 34^{\circ}$，

∴ $\angle B=\angle DFE = 34^{\circ}$，

∴ $\angle ACB = 180^{\circ}-\angle A-\angle B=180^{\circ}-36^{\circ}-34^{\circ}=110^{\circ}$。

∵ $CD$ 平分 $\angle BCA$，即 $\angle 1=\frac{1}{2}\angle ACB = 55^{\circ}$，

∴ $\angle 2 = 180^{\circ}-\angle A-\angle 1=180^{\circ}-36^{\circ}-55^{\circ}=89^{\circ}$。

典例 4
如图,在△ABC 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ \angle A = 40^{\circ} $,△ABC 的外角∠CBD 的平分线 BE 交 AC 的延长线于点 E,点 F 为 AC 延长线上的一点,连接 DF。
(1)求∠CBE 的度数；
(2)若 $ \angle F = 25^{\circ} $,求证 $ BE // DF $。

答案：
(1) 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=50°，
∵∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD=180°-∠ABC=130°，
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE=∠CBD/2=65°。
(2) 证明：在△BCE中，∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=180°-∠ACB-∠CBE=25°，
∵∠F=25°，
∴∠CEB=∠F，
∴BE//DF。