《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版》

1. 完全平方式
我们把$a^{2}+2ab+b^{2}$和$a^{2}-2ab+b^{2}$这样的式子叫作完全平方式。

答案： $a^{2}+2ab+b^{2}$ $a^{2}-2ab+b^{2}$

2. 用完全平方公式分解因式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍,等于这两个数的和(或差)的平方。
用字母表示为 $a^{2}+2ab+b^{2}=$$(a+b)^{2}$,$a^{2}-2ab+b^{2}=$$(a-b)^{2}$。

答案： 平方和 平方 $(a+b)^{2}$ $(a-b)^{2}$

3. 公式法
运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法。

答案： 公式

典例 1 如果 $x^{2}+2ax+1$ 是一个完全平方式,则 $a$ 的值是(C)
A.1
B.$-1$
C.1 或 $-1$
D.2 或 $-2$

答案： C

举一反三 $x^{2}-6x+m^{2}$ 是一个完全平方式,则 $m$ 的值为(D)
A.3
B.9
C.$-3$
D.$\pm 3$

答案： D 解析$\because x^{2}-6x+m^{2}$是一个完全平方式，$\therefore m^{2}=9,$解得$m=\pm 3$.故选 D.

典例 2 分解因式：
(1) $m^{2}+14m+49$；
(2) $-9x^{2}+12x-4$；
(3) $a^{2}+2a(b+c)+(b+c)^{2}$。

答案：
(1)
解：原式 $m^{2}+14m + 49$
$=m^{2}+2× m×7 + 7^{2}$
$=(m + 7)^{2}$
(2)
解：原式$-9x^{2}+12x - 4$
$=-(9x^{2}-12x + 4)$
$=-(3x)^{2}-2×3x×2+2^{2}$
$=-(3x - 2)^{2}$
(3)
解：原式$a^{2}+2a(b + c)+(b + c)^{2}$
把$b + c$看成一个整体，根据完全平方公式$A^{2}+2AB + B^{2}=(A + B)^{2}$，这里$A = a$，$B=b + c$
$=(a+(b + c))^{2}$
$=(a + b + c)^{2}$

举一反三 分解因式：
(1) $-x^{2}+2xy-y^{2}$；
(2) $4(x+y)^{2}+25-20(x+y)$；
(3) $(a+b)^{2}-4(a+b-1)$。

答案： 解
(1)$-x^{2}+2xy-y^{2}$$=-(x^{2}-2xy+y^{2})$$=-(x-y)^{2}.$
(2)$4(x+y)^{2}+25-20(x+y)$$=[2(x+y)]^{2}-2\cdot 2(x+y)\cdot 5+5^{2}$$=[2(x+y)-5]^{2}$$=(2x+2y-5)^{2}.$
(3)$(a+b)^{2}-4(a+b-1)$$=(a+b)^{2}-4(a+b)+4$$=(a+b-2)^{2}.$