《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

4. 如图,$\odot O的半径为5$,$AB$为弦,点$C为\overset{\frown}{AB}$的中点,若$\angle ABC = 30^{\circ}$,则弦$AB$的长为(D)

A.$\frac{1}{2}$
B.$5$
C.$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
D.$5\sqrt{3}$

答案： D

5. 如图,点$A$,$B$,$C$,$D$在圆上,$AB = 8$,$BC = 6$,$AC = 10$,$CD = 4$,则$AD = $$2\sqrt{21}$.

答案： $2\sqrt{21}$

6. 如图,$AB为\odot O$的直径,$C$,$D为\odot O$上的点,$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{CD}$,若$\angle CAB = 40^{\circ}$,则$\angle CAD = $$25^{\circ}$.

答案： $25^{\circ}$

7. 如图,点$A$,$B$,$C$,$D在\odot O$上,点$O在\angle D$的内部,四边形$OABC$为平行四边形,则$\angle OAD + \angle OCD = $$60^{\circ}$.

答案： $60^{\circ}$

8. 如图,已知$AB是\odot O$的弦,$\angle OBC = 30^{\circ}$,点$C是弦AB$上任意一点(不与点$A$,$B$重合),连接$CO并延长CO交\odot O于点D$,连接$AD$,$DB$. 当$\angle ADC = 18^{\circ}$时,求$\angle DOB$的度数.

答案：
解（方法1）如图，
连接 OA，$\because\angle ADC=18^{\circ}$，
$\therefore\angle AOC=2\angle ADC=36^{\circ}$.
$\because OA=OB$，$\therefore\angle OAC=\angle OBC=30^{\circ}$.
$\therefore\angle OCB=\angle OAC+\angle AOC=66^{\circ}$.
$\therefore\angle DOB=\angle OCB+\angle OBC=96^{\circ}$.

（方法2）如图，连接 OA，
$\because OA=OB=OD$，
$\therefore\angle OAB=\angle OBC=30^{\circ}$，$\angle OAD=\angle ADC=18^{\circ}$.
$\therefore\angle DAB=\angle DAO+\angle BAO=48^{\circ}$，
由圆周角定理得$\angle DOB=2\angle DAB=96^{\circ}$.

9. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AD平分\angle BAC$. 过$A$,$C$,$D三点的圆与斜边AB交于点E$,连接$DE$.
(1)求证：$AC = AE$；
(2)若$AC = 6$,$CB = 8$,求$\triangle ACD$外接圆的半径.

答案： （1）证明（方法1）$\because\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore AD$为直径，$\therefore\angle AED=90^{\circ}$.
又 AD 平分$\angle CAE$，$\therefore CD=DE$.
∴Rt△ACD≌ Rt△AED.
$\therefore AC=AE$.
（注：上述证法中用 AAS 证Rt△ACD≌ Rt△AED也可. 另外，根据圆内接四边形的性质，可得$\angle AED=180^{\circ}-\angle C=90^{\circ}$.）
（方法2）$\because\angle ACB=90^{\circ}$，$\therefore AD$为直径.
又 AD 平分$\angle BAC$，$\therefore\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，
$\therefore\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AE}$，$\therefore AC=AE$.
（2）解 设$CD=x$，则$DE=x$，$BD=8-x$.
$\because AE=AC=6$，
$\therefore BE=AB - AE=10 - 6=4$.
在$Rt\triangle BDE$中，由勾股定理，得$DE^{2}+BE^{2}=BD^{2}$，
即$x^{2}+4^{2}=(8 - x)^{2}$，解得$x=3$.
$\therefore AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{6^{2}+3^{2}}=3\sqrt{5}$.
$\therefore\triangle ACD$外接圆的半径为$\frac{3\sqrt{5}}{2}$.

10. 如图,线段$AB是\odot O$的直径,弦$CD \perp AB$,$\angle A = 20^{\circ}$,则$\angle AOD$等于(C)

A.$160^{\circ}$
B.$150^{\circ}$
C.$140^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案： C

11. 如图,$\odot O的半径为1$,$AB是\odot O$的一条弦,且$AB = \sqrt{3}$,则弦$AB$所对圆周角的度数为(D)

A.$30^{\circ}$
B.$60^{\circ}$
C.$30^{\circ}或150^{\circ}$
D.$60^{\circ}或120^{\circ}$

答案： D

12. 如图,四边形$ABCD内接于\odot O$,$DA = DC$,$\angle CBE = 50^{\circ}$,则$\angle DAC$的大小为(C)

A.$130^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$65^{\circ}$
D.$50^{\circ}$

答案： C