《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

3. 抛物线 $ y = -4x^2 $ 与 $ y = -\frac{1}{4}(x - 1)^2 $ 共有的性质是(C)
A.开口向上
B.对称轴都是 $ y $ 轴
C.都有最高点
D.顶点坐标为原点

答案： C

4. 二次函数 $ y = 2(x - 3)^2 - 4 $ 的最小值为-4。

答案： -4

5. 抛物线 $ y = (x + 2)^2 - 4 $ 的开口向上,对称轴为直线$x=-2$,顶点坐标为$(-2,-4)$,它可以看作是由抛物线 $ y = x^2 $ 先向左平移 $ 2 $ 个单位长度,再向下平移 $ 4 $ 个单位长度得到。

答案： 上 直线$x=-2$ $(-2,-4)$ 左 下

【例】画出二次函数 $ y = (x - 1)^2 - 4 $ 的图象。
(1)指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴。
(2)当 $ x $ 取哪些值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？当 $ x $ 取哪些值时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(3)写出该函数图象上的最高点或最低点的坐标及函数的最大值或最小值。
(4)将抛物线向左平移 $ 2 $ 个单位长度,再向下平移 $ 1 $ 个单位长度,求所得抛物线的解析式。

答案：
分析 首先根据函数的解析式确定函数图象的对称轴,然后在对称轴左右两侧适当地选取 $ x $ 值(一般是在对称轴左右对称取值),从而列表、描点、连线,画出函数图象。通过观察函数的图象,我们可以得出它的性质,进而解决相关问题。
解 列表、描点、连线,画出的函数图象如图所示。


(1)函数 $ y = (x - 1)^2 - 4 $ 的图象开口向上,顶点坐标为 $ (1, -4) $,对称轴是直线 $ x = 1 $。
(2)当 $ x ＜ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；当 $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
(3)函数 $ y = (x - 1)^2 - 4 $ 图象上的最低点(即顶点)坐标是 $ (1, -4) $,此时函数有最小值,当 $ x = 1 $ 时,$ y_{最小值} = -4 $。
(4)抛物线 $ y = (x - 1)^2 - 4 $ 向左平移 $ 2 $ 个单位长度,再向下平移 $ 1 $ 个单位长度,所得抛物线的解析式为 $ y = (x + 1)^2 - 5 $,即 $ y = x^2 + 2x - 4 $。