《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

10. 抛物线 $ y = 3(x - 1)^2 + 2 $ 与 $ y = 3(x + 1)^2 + 2 $ 的关系是(C)
A.关于原点对称
B.关于 $ x $ 轴对称
C.关于 $ y $ 轴对称
D.以上均不对

答案： C

11. 若把函数 $ y = x $ 的图象记为 $ E(x, x) $,函数 $ y = 2x + 1 $ 的图象记为 $ E(x, 2x + 1) … … $ 则 $ E(x, x^2 - 2x + 1) $ 可以由 $ E(x, x^2) $ 怎样平移得到？(D)
A.向上平移 $ 1 $ 个单位长度
B.向下平移 $ 1 $ 个单位长度
C.向左平移 $ 1 $ 个单位长度
D.向右平移 $ 1 $ 个单位长度

答案： D

12. 如图,把抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 平移得到抛物线 $ m $,抛物线 $ m $ 经过点 $ A(-6, 0) $ 和原点 $ O(0, 0) $,它的顶点为 $ P $,它的对称轴与抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 交于点 $ Q $,则图中阴影部分的面积为$\frac{27}{2}$。

答案： $\frac{27}{2}$

13. 已知二次函数 $ y = a^2(x - 2)^2 + c $,当自变量 $ x $ 分别取 $ 0 $,$ \sqrt{2} $,$ 3 $ 时,对应的函数值分别为 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $,则 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的值用“$＜$”连接为$y_2＜y_3＜y_1$。

答案： $y_2＜y_3＜y_1$

14. 如图,某公路隧道横断面为抛物线,其最大高度为 $ 6 $ m,底部宽度为 $ 12 $ m,现以 $ O $ 为原点,$ OM $ 所在的直线为 $ x $ 轴建立直角坐标系。

(1)直接写出点 $ M $ 及抛物线顶点 $ P $ 的坐标。
(2)求这条抛物线的解析式。
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”$ AD - DC - CB $,使点 $ C $,$ D $ 在抛物线上,点 $ A $,$ B $ 在地面 $ OM $ 上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少米？

答案： 解
(1)点$M(12,0)$,点$P(6,6).$
(2)设抛物线的解析式为$y=a(x-6)^2+6.$
∵抛物线$y=a(x-6)^2+6$经过点$(0,0)$,
∴$0=a(0-6)^2+6$,
∴$a=-\frac{1}{6}.$
∴抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{6}(x-6)^2+6=-\frac{1}{6}x^2+2x.$
(3)设点$A(m,0)$,则点$B(12-m,0),C\left(12-m,-\frac{1}{6}m^2+2m\right),D\left(m,-\frac{1}{6}m^2+2m\right),$所以$AD+DC+BC=\left(-\frac{1}{6}m^2+2m\right)+(12-2m)+\left(-\frac{1}{6}m^2+2m\right)=-\frac{1}{3}m^2+2m+12=-\frac{1}{3}(m-3)^2+15.$则当$m=3$时,$AD+DC+BC$有最大值15.故所求的这个“支撑架”总长的最大值是15 m.

★15. 如图,抛物线 $ y_1 = -x^2 + 2 $ 向右平移 $ 1 $ 个单位长度得到抛物线 $ y_2 $。回答下列问题：

(1)抛物线 $ y_2 $ 的顶点坐标是(1,2)；
(2)阴影部分的面积 $ S = $2。

答案：
(1)$(1,2)$
(2)2
(1)抛物线$y_2$的解析式为$y_2=-(x-1)^2+2$,其顶点坐标为$(1,2);$
(2)在第一象限中,将阴影部分去掉,通过平移可得$2×2$的正方形方格,则阴影部分面积$S=3×2-2×2=2.$