《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

6. 如图,若抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 上的 $ P(4,0) $,$ Q $ 两点关于它的对称轴 $ x = 1 $ 对称,则点 $ Q $ 的坐标为$(-2,0)$。

答案： $(-2,0)$

7. 已知二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示,则点 $ P(a, bc) $ 在第三象限。

答案： 三
∵抛物线开口向下,$\therefore a＜0$.
$\because -\dfrac{b}{2a}＜0,a＜0$,
$\therefore b＜0$.
因为抛物线与$y$轴交于正半轴,$\therefore c＞0$,
$\therefore$点$P(a,bc)$在第三象限.

8. 已知抛物线 $ y = x^2 - 2mx - 4(m ＞ 0) $ 的顶点 $ M $ 关于坐标原点 $ O $ 的对称点为 $ M' $,若点 $ M' $ 在这条抛物线上,则点 $ M $ 的坐标为(C)
A.$ (1,-5) $
B.$ (3,-13) $
C.$ (2,-8) $
D.$ (4,-20) $

答案： C

9. 由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象过点 $ (1,0) $……求证：这个二次函数的图象关于直线 $ x = 2 $ 对称。”根据现有信息,题中的二次函数图象不具有的性质是(B)
A.过点 $ (3,0) $
B.顶点是 $ (2,-2) $
C.$ b ＜ 0 $
D.$ c = 3 $

答案： B

10. 若抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的顶点是 $ A(2,1) $,且经过点 $ B(1,0) $,则抛物线的函数解析式为$y=-x^{2}+4x-3$。

答案： $y=-x^{2}+4x-3$

11. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示,且 $ P = |2a + b| + |3b - 2c| $,$ Q = |2a - b| - |3b + 2c| $,则 $ P $,$ Q $ 的大小关系是$P＞Q$。

答案： $P＞Q$

12. 如图,四边形 $ ABCD $ 是菱形,点 $ D $ 的坐标是 $ (0,\sqrt{3}) $,以点 $ C $ 为顶点的抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 恰好经过 $ x $ 轴上 $ A $,$ B $ 两点。

(1)求 $ A $,$ B $,$ C $ 三点的坐标。
(2)求经过 $ A $,$ B $,$ C $ 三点的抛物线的解析式。
(3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点 $ D $,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位长度。

答案： 解
(1)由抛物线的对称性可知$AE=BE$.
在$Rt\triangle AOD$和$Rt\triangle BEC$中,
因为$OD=EC,AD=BC$,
所以Rt△AOD≌Rt△BEC(HL).
故$OA=EB=EA$.
设菱形的边长为$2m$,
在$Rt\triangle AOD$中,$m^{2}+(\sqrt{3})^{2}=(2m)^{2}$,解得$m=1$.
所以$DC=2,OA=1,OB=3$.
故$A,B,C$三点的坐标分别为$(1,0),(3,0),(2,\sqrt{3})$.
(2)设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^{2}+\sqrt{3}$,代入点$A$的坐标$(1,0)$,得$a=-\sqrt{3}$,
所以抛物线的解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^{2}+\sqrt{3}$.
(3)设平移后抛物线的解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^{2}+k$,代入点$D$的坐标$(0,\sqrt{3})$,得$k=5\sqrt{3}$,
所以平移后的抛物线的解析式为$y=-\sqrt{3}(x-2)^{2}+5\sqrt{3}$.
所以平移了$5\sqrt{3}-\sqrt{3}=4\sqrt{3}$个单位长度.

13. 我们知道,经过原点的抛物线的解析式可以是 $ y = ax^2 + bx(a \neq 0) $。
(1)对于这样的抛物线：
当顶点坐标为 $ (1,1) $ 时,$ a = $______；
当顶点坐标为 $ (m,m)(m \neq 0) $ 时,$ a $ 与 $ m $ 之间的关系式是______；
(2)继续探究,若 $ b \neq 0 $,且过原点的抛物线顶点在直线 $ y = kx(k \neq 0) $ 上,请用含 $ k $ 的式子表示 $ b $；
(3)现有一组过原点的抛物线,顶点 $ A_1 $,$ A_2 $,…,$ A_n $ 在直线 $ y = x $ 上,横坐标依次为 1,2,…,$ n $($ n $ 为正整数,且 $ n \leq 12 $),分别过每个顶点作 $ x $ 轴的垂线,垂足记为 $ B_1 $,$ B_2 $,…,$ B_n $。以线段 $ A_nB_n $ 为边向右作正方形 $ A_nB_nC_nD_n $,若这组抛物线中有一条经过 $ D_n $,求所有满足条件的正方形边长。
(1)-1；$a=-\dfrac{1}{m}$(或$am+1=0$)；
(2)因为$a\neq0$,
所以$y=ax^{2}+bx=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}}{4a}$.
所以顶点坐标为$\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b^{2}}{4a}\right)$.
因为顶点在直线$y=kx$上,
所以$k\cdot\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=-\dfrac{b^{2}}{4a}$.
又因为$b\neq0$,所以$b=2k$.
(3)因为顶点$A_{n}$在直线$y=x$上,
所以可设$A_{n}$的坐标为$(n,n)$,点$D_{n}$所在的抛物线顶点坐标为$(t,t)$,由(1)(2)可得,点$D_{n}$所在的抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{t}x^{2}+2x$.
因为四边形$A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}$是正方形,所以点$D_{n}$的坐标为$(2n,n)$.
所以$-\dfrac{1}{t}\cdot(2n)^{2}+2×2n=n$.
所以$4n=3t$.
因为$t,n$是正整数,且$t\leqslant12,n\leqslant12$,所以$n$的值为3,6或9.
所以满足条件的正方形边长为3,6或9.

答案： 解
(1)-1 $a=-\dfrac{1}{m}$(或$am+1=0$)
(2)因为$a\neq0$,
所以$y=ax^{2}+bx=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}}{4a}$.
所以顶点坐标为$\left(-\dfrac{b}{2a},-\dfrac{b^{2}}{4a}\right)$.
因为顶点在直线$y=kx$上,
所以$k\cdot\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=-\dfrac{b^{2}}{4a}$.
又因为$b\neq0$,所以$b=2k$.
(3)因为顶点$A_{n}$在直线$y=x$上,
所以可设$A_{n}$的坐标为$(n,n)$,点$D_{n}$所在的抛物线顶点坐标为$(t,t)$,由
(1)
(2)可得,点$D_{n}$所在的抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{t}x^{2}+2x$.
因为四边形$A_{n}B_{n}C_{n}D_{n}$是正方形,所以点$D_{n}$的坐标为$(2n,n)$.
所以$-\dfrac{1}{t}\cdot(2n)^{2}+2×2n=n$.
所以$4n=3t$.
因为$t,n$是正整数,且$t\leqslant12,n\leqslant12$,所以$n$的值为3,6或9.
所以满足条件的正方形边长为3,6或9.