《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

1. 已知一元二次方程 $2x^{2}-5x+1 = 0$ 的两个根为 $x_{1},x_{2}$,下列结论正确的是(D)
A.$x_{1}+x_{2}= -\frac{5}{2}$
B.$x_{1}x_{2}= 1$
C.$x_{1},x_{2}$ 都是有理数
D.$x_{1},x_{2}$ 都是正数

答案： D

2. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(a^{2}-2a)x+a - 1 = 0$ 的两个实数根互为相反数,则 $a$ 的值为(B)
A.$2$
B.$0$
C.$1$
D.$2$ 或 $0$

答案： B

3. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}+bx - 3 = 0$ 的两根,且满足 $x_{1}+x_{2}-3x_{1}x_{2}= 5$,则 $b$ 的值为(A)
A.$4$
B.$-4$
C.$3$
D.$-3$

答案： A

4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+bx+c = 0$ 的两个实数根分别为 $1$ 和 $2$,则 $b=$-3,$c=$2。

答案： -3 2

5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^{2}+3x - 1 = 0$ 的两个根为 $x_{1},x_{2}$,则 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$ 的值等于 3。

答案： 3

6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-4x+k - 3 = 0$ 的两个实数根为 $x_{1},x_{2}$,且满足 $x_{1}= 3x_{2}$,试求出该方程的两个实数根及 $k$ 的值。

答案： 解：由根与系数的关系，得
$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=4 \\x_{1}\cdot x_{2}=k - 3\end{cases}$
$\because x_{1}=3x_{2}$，
$\therefore 3x_{2}+x_{2}=4$，
解得$x_{2}=1$，
$\therefore x_{1}=3x_{2}=3×1=3$，
$\therefore x_{1}\cdot x_{2}=3×1=k - 3$，
解得$k=6$。
故该方程的两个实数根为$x_{1}=3$，$x_{2}=1$，$k$的值为$6$。

7. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx - 1 = 0$ 的一个根是 $\sqrt{2}-1$,求其另一个根及 $m$ 的值。

答案： 解：设方程的另一个根为$x_{2}$，已知一个根为$x_{1}=\sqrt{2}-1$。
由根与系数的关系，得：
$\begin{cases}(\sqrt{2}-1) + x_{2} = -m \\(\sqrt{2}-1) \cdot x_{2} = -1\end{cases}$
由第二个方程解得：
$x_{2} = \frac{-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{-(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{-(\sqrt{2}+1)}{2 - 1} = -\sqrt{2}-1$
将$x_{2}=-\sqrt{2}-1$代入第一个方程：
$(\sqrt{2}-1) + (-\sqrt{2}-1) = -m$
$\sqrt{2}-1 - \sqrt{2}-1 = -m$
$-2 = -m$
解得$m = 2$
故另一个根为$-\sqrt{2}-1$，$m$的值为$2$。

8. 已知 $m,n$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2tx+t^{2}-2t+4 = 0$ 的两个实数根,则 $(m + 2)(n + 2)$ 的最小值是(D)
A.$7$
B.$11$
C.$12$
D.$16$

答案： D