《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

13. 请选择适当的方法解方程。
(1)$ x^{2} - 3x + 1 = 0 $；
(2)$ (x - 3)^{2} = 2x(x - 3) $。

答案：
(1)
∵a=1,b=-3,c=1,
∴Δ=b²-4ac=(-3)²-4×1×1=5＞0.
∴x=3±√5/2.
∴x₁=3+√5/2,x₂=3-√5/2.
(2)(x-3)²=2x(x-3),(x-3)²-2x(x-3)=0,(x-3)(x-3-2x)=0,x-3=0或x-3-2x=0,故x₁=3,x₂=-3.

14. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - 3x - k = 0 $ 有两个不相等的实数根。
(1)求实数 $ k $ 的取值范围；
(2)请选择一个 $ k $ 的负整数值,并求出方程的根。

答案：
(1)因为方程有两个不相等的实数根,所以(-3)²-4(k)＞0,即4k＞-9,解得k＞-9/4.
(2)若k是负整数,则k只能为-1或-2.若k=-1,则原方程为x²-3x+1=0,解得x₁=3+√5/2,x₂=3-√5/2.
(若k=-2,则原方程为x²-3x+2=0,解得x₁=1,x₂=2.)

15. 为满足市场需求,新生活超市在端午节前夕购进价格为 3 元/个的某品牌粽子。根据市场预测,该品牌粽子每个售价为 4 元时,每天能售出 500 个,并且售价每上涨 0.1 元,其销售量将减少 10 个。为了维护消费者利益,物价部门规定,该品牌的售价不能超过进价的 $ 200\% $。请你利用所学知识帮助超市给该品牌粽子定价,使得该超市该品牌粽子每天的销售利润为 800 元。

答案： 设该品牌粽子的定价为x元,则销售量为(500-10×(x-4)/0.1)个,每个利润为(x-3)元,由题意得(x-3)(500-10×(x-4)/0.1)=800,即x²-12x+35=0,解得x₁=5,x₂=7,
∵x≤3×200%,
∴x=5.答:该品牌粽子定价为5元时,可以使得该超市每天的销售利润为800元.

16. 关于 $ x $ 的方程 $ (k - 1)x^{2} + 2kx + 2 = 0 $。
(1)求证：无论 $ k $ 为何值,方程总有实数根。
(2)设 $ x_{1} $,$ x_{2} $ 是方程 $ (k - 1)x^{2} + 2kx + 2 = 0 $ 的两个根,记 $ S = \frac{x_{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}}{x_{2}} + x_{1} + x_{2} $,$ S $ 的值能为 2 吗？若能,求出此时 $ k $ 的值；若不能,请说明理由。

答案：
(1)证明①当k-1=0即k=1时,原方程为一元一次方程2x=-2,x=-1,有一个解;②当k-1≠0即k≠1时,原方程为一元二次方程,Δ=(2k)²-4×2(k-1)=4k²-8k+8=4(k-1)²+4＞0,方程有两个不相等的实数根.综合①②,得无论k为何值,原方程总有实数根.
(2)解根据一元二次方程的两个根分别为x₁和x₂,由一元二次方程根与系数的关系得x₁+x₂=-2k/(k-1),x₁x₂=2/(k-1),
∵S=x₂/x₁+x₁/x₂+x₁+x₂,
∴S=(x₁²+x₂²)/x₁x₂+x₁+x₂=((x₁+x₂)²-2x₁x₂)/x₁x₂+x₁+x₂=((-2k/(k-1))²-4/(k-1))/(2/(k-1))+(-2k)/(k-1)=(2k²/(k-1)-2)+(-2k)/(k-1)=2k-2.
∵当S=2时,2k-2=2,解得k=2,
∴当k=2时,S的值为2.
∴S的值能为2,此时k的值为2.