《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

2. 方程$x(x - 1)= 2$的解是$x_{1}=-1$,$x_{2}=2$。

答案： $x_{1}=-1$,$x_{2}=2$

3. 用适当的方法解下列方程：
(1)$2(x + 3)^{2}= x(x + 3)$；
(2)$x^{2}-2\sqrt{5}x + 2 = 0$；
(3)$x^{2}-70x + 825 = 0$。

答案： 解
(1)移项,得$2(x+3)^{2}-x(x+3)=0$.
分解因式,得$(x+3)[2(x+3)-x]=0$,
即$(x+3)(x+6)=0$.
所以$x_{1}=-3$,$x_{2}=-6$.
(2)由$a=1$,$b=-2\sqrt{5}$,$c=2$,
得$b^{2}-4ac=(-2\sqrt{5})^{2}-4×1×2=12＞0$.
所以$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{2\sqrt{5}\pm\sqrt{12}}{2}$.
所以$x_{1}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$,$x_{2}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$.
(3)移项,得$x^{2}-70x=-825$,
将方程的左边配方,得$x^{2}-70x+35^{2}=35^{2}-825$,
即$(x-35)^{2}=400$.所以$x-35=\pm20$.
所以$x_{1}=35+20=55$,$x_{2}=35-20=15$.

4. 若关于$x的一元二次方程kx^{2}-2x - 1 = 0$有两个不相等的实数根,则实数$k$的取值范围是(D)
A.$k＞-1$
B.$k＜1$,且$k\neq0$
C.$k\geq-1$,且$k\neq0$
D.$k＞-1$,且$k\neq0$

答案： D

5. 设$x_{1}$,$x_{2}是方程x^{2}-3x - 3 = 0$的两个不相等的实数根,则$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$的值为(B)
A.$5$
B.$-5$
C.$1$
D.$-1$

答案： B

【例4】某种商品的标价为$400$元/件,经过两次降价后的价格为$324$元/件,并且两次降价的百分率相同。
(1) 求该种商品每次降价的百分率。
(2) 若该种商品进价为$300$元/件,两次降价共售出此种商品$100$件,为使两次降价销售的总利润不少于$3120$元。问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？

答案： 分析
(1) 根据等量关系：原价$×(1 -降低率)^{2}= $降价两次后的价格,列一元二次方程求解；
(2) 根据两次利润总和大于或等于$3120$列不等式求解。另外解题时要注意检验所得的解是否符合实际意义。
解
(1) 设该种商品每次降价的百分率为$x$,
根据题意得$400(1 - x)^{2}= 324$,
解得$x = 0.1 = 10\%或x = 1.9$(不合题意,舍去)。
答：该种商品每次降价的百分率为$10\%$。
(2) 设第一次降价后售出该种商品$m$件,
根据题意得$[400(1 - 10\%) - 300]m+(324 - 300)(100 - m)\geq3120$,解得$m\geq20$。
答：第一次降价后至少要售出该种商品$20$件。