《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

专题二 二次函数与一元二次方程的关系
【例 2】已知抛物线$y = \frac{1}{2}x^{2}+x - \frac{3}{2}$。
(1)用配方法求它的顶点坐标和对称轴；
(2)若该抛物线与$x轴的两个交点为A$,$B$,求线段$AB$的长。

答案： 解
(1)因为$y = \frac{1}{2}x^{2}+x - \frac{3}{2}= \frac{1}{2}(x^{2}+2x + 1)-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}= \frac{1}{2}(x + 1)^{2}-2$,所以顶点坐标为$(-1,-2)$,对称轴为$x = -1$。
(2)求抛物线与$x$轴的两个交点坐标,即令$\frac{1}{2}x^{2}+x - \frac{3}{2}= 0$,解得$x_{1}= -3$,$x_{2}= 1$,所以线段$AB的长为4$。

2. 已知二次函数$y = x^{2}+bx + c的图象与x$轴只有一个交点,且过$A(x_{1},m)$,$B(x_{1}+n,m)$两点,则$m$,$n$的关系为(D)
A.$m = \frac{1}{2}n$
B.$m = \frac{1}{4}n$
C.$m = \frac{1}{2}n^{2}$
D.$m = \frac{1}{4}n^{2}$

答案： D
∵抛物线$y=x^{2}+bx+c$与x轴只有一个交点,
∴当$x=-\dfrac{b}{2}$时,y=0,且$b^{2}-4c=0,$
即$b^{2}=4c.$
又图象过点$A(x_{1},m),B(x_{1}+n,m),$
∴点A、点B关于直线$x=-\dfrac{b}{2}$对称,
∴$A\left(-\dfrac{b}{2}-\dfrac{n}{2},m\right),B\left(-\dfrac{b}{2}+\dfrac{n}{2},m\right),$将点A坐标代入抛物线解析式,得$m=\left(-\dfrac{b}{2}-\dfrac{n}{2}\right)^{2}+\left(-\dfrac{b}{2}-\dfrac{n}{2}\right)b+c,$
即$m=\dfrac{n^{2}}{4}-\dfrac{b^{2}}{4}+c,$
∵$b^{2}=4c,$
∴$m=\dfrac{1}{4}n^{2}.$故选D.

专题三 二次函数的实际应用
【例 3】如图,把一张长为$10cm$,宽为$8cm$的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)。

(1)要使长方体盒子的底面积为$48cm^{2}$,则剪去的正方形的边长为多少？
(2)你感觉折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有,请你说明理由。
(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去$2个同样大小的正方形和2$个同样形状、同样大小的矩形,然后折合成一个有盖的长方体盒子,是否有侧面积最大的情况？如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有,请你说明理由。

答案：
分析
(1)设硬纸板的四周各剪去的同样大小的正方形的边长为$x cm$,则折合成一个无盖的长方体盒子时,盒子的底面的长和宽均减少$2x cm$。
(2)要注意盒子共有四个侧面,且相对的两个侧面完全相同,因为要求侧面积的最大值,所以应设出变量列出函数解析式,运用二次函数的知识解决问题。
(3)因有两种不同的折法,所以要注意分类讨论。
解
(1)设正方形的边长为$x cm$,则$(10 - 2x)(8 - 2x)= 48$,即$x^{2}-9x + 8 = 0$,解得$x_{1}= 8$(不合题意,舍去),$x_{2}= 1$。所以剪去的正方形的边长为$1cm$。
(2)有侧面积最大的情况。
设正方形的边长为$x cm$,长方体盒子的侧面积为$y cm^{2}$,则$y与x的函数解析式为y = 2(10 - 2x)x + 2(8 - 2x)x$,即$y = -8x^{2}+36x= -8(x - \frac{9}{4})^{2}+\frac{81}{2}$。
所以当$x = 2.25$时,$y_{最大}= 40.5$。
即当剪去的正方形的边长为$2.25cm$时,长方体盒子的侧面积最大为$40.5cm^{2}$。
(3)有侧面积最大的情况。设正方形的边长为$x cm$,长方体盒子的侧面积为$y cm^{2}$。
若按图①的方法剪折,则$y与x$的函数解析式为
$y = 2(8 - 2x)x + 2×\frac{10 - 2x}{2}\cdot x$,
即$y = -6(x - \frac{13}{6})^{2}+\frac{169}{6}$。
故当$x = \frac{13}{6}$时,$y_{最大}= \frac{169}{6}$。

若按图②的方法剪折,则$y与x的函数解析式为y = 2(10 - 2x)x + 2×\frac{8 - 2x}{2}\cdot x$,
即$y = -6(x - \frac{7}{3})^{2}+\frac{98}{3}$。
故当$x = \frac{7}{3}$时,$y_{最大}= \frac{98}{3}$。
比较以上两种剪折方法可以看出,按图②的方法剪折得到的盒子侧面积最大,即当剪去的正方形的边长为$\frac{7}{3}cm$时,折成的有盖长方体盒子的侧面积最大,最大面积为$\frac{98}{3}cm^{2}$。