《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

1. 如果 $ x = 4 $ 是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-3x = a^{2} $ 的一个根,那么常数 $ a $ 的值是(±2)
A.$ 2 $
B.$ -2 $
C.$ \pm 2 $
D.$ \pm 4 $

答案： C 将x=4代入方程,得16-3×4=a²,解得a=±2.

2. 一元二次方程 $ (x - 1)^{2} = 3 $ 的解是(B)
A.$ x_{1} = -1 - \sqrt{3} $,$ x_{2} = -1 + \sqrt{3} $
B.$ x_{1} = 1 - \sqrt{3} $,$ x_{2} = 1 + \sqrt{3} $
C.$ x_{1} = 3 $,$ x_{2} = -1 $
D.$ x_{1} = 1 $,$ x_{2} = -3 $

答案： B x-1=±√3,x=1±√3,即x₁=1-√3,x₂=1+√3.

3. 某商店今年 1 月份的销售额是 2 万元,3 月份的销售额是 4.5 万元,从 1 月份到 3 月份,该店销售额平均每月的增长率是(C)
A.$ 20\% $
B.$ 25\% $
C.$ 50\% $
D.$ 62.5\% $

答案： C

4. 用配方法解一元二次方程 $ x^{2} - 4x = 5 $ 的过程中,配方正确的是(D)
A.$ (x + 2)^{2} = 1 $
B.$ (x - 2)^{2} = 1 $
C.$ (x + 2)^{2} = 9 $
D.$ (x - 2)^{2} = 9 $

答案： D 方程两边同时加上4即可.

5. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} + 2(k - 1)x + k^{2} - 1 = 0 $ 有实数根,则实数 $ k $ 的取值范围是(D)
A.$ k \geq 1 $
B.$ k ＞ 1 $
C.$ k ＜ 1 $
D.$ k \leq 1 $

答案： D 一元二次方程x²+2(k-1)x+k²-1=0有实数根,则Δ=b²-4ac=[2(k-1)]²-4×1×(k²-1)=-8k+8≥0,解得k≤1.故选D.

6. 已知 $ x_{1} $,$ x_{2} $ 是一元二次方程 $ 3x^{2} = 6 - 2x $ 的两根,则 $ x_{1} - x_{1}x_{2} + x_{2} $ 的值是(D)
A.$ -\frac{4}{3} $
B.$ \frac{8}{3} $
C.$ -\frac{8}{3} $
D.$ \frac{4}{3} $

答案： D 因为x₁,x₂是一元二次方程3x²+2x-6=0的两根,所以x₁+x₂=-2/3,x₁·x₂=-2,则x₁-x₁x₂+x₂=x₁+x₂-x₁x₂=-2/3-(-2)=4/3.故选D.

7. 在正数范围内定义一种新运算“$ * $”,其运算规则是 $ a * b = 2(a + b) - 3ab $,根据这个规则,方程 $ x * (x + 1) = 0 $ 的解是(C)
A.$ x = \frac{2}{3} $
B.$ x = 1 $
C.$ x = -\frac{2}{3} $ 或 $ x = 1 $
D.$ x = \frac{2}{3} $ 或 $ x = -1 $

答案： C 根据题意,得x*(x+1)=2(x+x+1)-3x(x+1)=0,即3x²-x-2=0,解得x₁=-2/3,x₂=1.

8. 定义：如果一元二次方程 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $ 满足 $ a + b + c = 0 $,那么我们称这个方程为“凤凰方程”。已知 $ ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0) $ 是“凤凰方程”,且有两个相等的实数根,则下列结论正确的是(A)
A.$ a = c $
B.$ a = b $
C.$ b = c $
D.$ a = b = c $

答案： A 因为方程有两个相等的实数根,所以b²-4ac=0.又因为a+b+c=0,所以[-(a+c)]²-4ac=0,化简,得(a-c)²=0.所以a=c.

9. 设 $ m $,$ n $ 是一元二次方程 $ x^{2} + 2x - 7 = 0 $ 的两个根,则 $ m^{2} + 3m + n = $ 5。

答案： 5
∵m,n是一元二次方程x²+2x-7=0的两个根,
∴m+n=-2,m²+2m-7=0,即m²+2m=7.
∴m²+3m+n=m²+2m+m+n=7-2=5.

10. 一个小组有若干人,新年相互打语音电话问候,已知全组共打电话 66 次(两人之间打一次),则这个小组的人数是 12。

答案： 12 设这个小组有x人,则1/2x(x-1)=66,即x²-x-132=0,解得x₁=12,x₂=-11(舍去).

11. 已知 $ x_{1} = -6 $,$ x_{2} = 2 $ 为某一元二次方程的两根,则符合条件的一元二次方程为 x²+4x-12=0(答案不唯一)。(写出一个即可)

答案： x²+4x-12=0(答案不唯一)

12. 对于实数 $ a $,$ b $,定义运算“$ * $”：$ a * b = \begin{cases} a^{2} - ab(a \geq b), \\ ab - b^{2}(a ＜ b). \end{cases} $ 例如：$ 4 * 2 $,因为 $ 4 ＞ 2 $,所以 $ 4 * 2 = 4^{2} - 4 × 2 = 8 $。若 $ x_{1} $,$ x_{2} $ 是一元二次方程 $ x^{2} - 5x + 6 = 0 $ 的两个根,则 $ x_{1} * x_{2} = $ -3或3。

答案： -3或3 x²-5x+6=0的两个根为x₁=2,x₂=3或x₁=3,x₂=2.当x₁=2,x₂=3时,x₁*x₂=2×3-3²=-3;当x₁=3,x₂=2时,x₁*x₂=3²-2×3=3.