《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

12. 如图,线段 $ AB $ 的长为 $ 2 $,$ C $ 为 $ AB $ 上一个动点,分别以 $ AC $,$ BC $ 为斜边在 $ AB $ 的同侧作两个等腰直角三角形($ \triangle ACD $ 和 $ \triangle BCE $),那么 $ DE $ 长的最小值是______.

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答案： 1 设AC=x,则BC=2-x.因为△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,所以CD=(√2/2)x,CE=(√2/2)(2-x),∠DCA=∠ECB=45°.所以∠DCE=180°-45°-45°=90°.在Rt△DCE中,DE²=DC²+CE²,所以DE²=[(√2/2)x]²+[(√2/2)(2-x)]²=x²-2x+2=(x-1)²+1.所以当x=1时,DE²有最小值,最小值为1,此时DE有最小值,DE=1.

13. 下表给出了代数式 $ x^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 的一些对应值.

(1)请在表内空格中填入适当的数.0 0
(2)设 $ y = x^{2} + bx + c $,则当 $ x $ 取何值时,$ y ＞ 0 $?当x＜1或x＞3时，y＞0
(3)请说明经过怎样平移函数 $ y = x^{2} + bx + c $ 的图象得到函数 $ y = x^{2} $ 的图象？把函数y=x²-4x+3化为顶点式y=(x-2)²-1，由函数y=(x-2)²-1的图象向左平移2个单位长度得函数y=x²-1的图象，再向上平移1个单位长度得函数y=x²的图象。

答案： 解
(1)由表格中数据可知:当x=0时,y=3;当x=4时,y=3.代入代数式得{c=3,{16+4b+c=3,解得{c=3,{b=-4.故表内空格中应填:0 0
(2)函数y=x²-4x+3的图象开口向上,当x=1和x=3时,y=0,则当x＜1或x＞3时,y＞0,也可由图象观察得到结果.
(3)把函数y=x²-4x+3化为顶点式y=(x-2)²-1,由函数y=(x-2)²-1的图象向左平移2个单位长度得函数y=x²-1的图象,再向上平移1个单位长度得函数y=x²的图象.

14. 已知抛物线 $ y = -x^{2} + 4x - 3 $ 与 $ x $ 轴相交于 $ A $,$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧),顶点为 $ P $.
(1)求 $ A $,$ B $,$ P $ 三点的坐标；
(2)在给出的平面直角坐标系内画出此抛物线的简图,并根据简图写出当 $ x $ 取何值时,函数值 $ y $ 大于零；
(3)确定此抛物线与直线 $ y = -2x + 6 $ 公共点的个数,并说明理由.

答案：
解
(1)令y=0,解方程-x²+4x-3=0,得x₁=1,x₂=3,则点A(1,0),B(3,0).将y=-x²+4x-3配方得y=-(x-2)²+1,得顶点P(2,1).
(2)如图,当1＜x＜3时,y＞0.

(3)由题意列方程组{y=-x²+4x-3,{y=-2x+6.转化为一元二次方程,得x²-6x+9=0,由Δ=0,可知方程的两根相等,因此抛物线与直线有唯一的公共点.