《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

9. (2021·四川达州中考)某加工厂加工黄花的成本为$30$元/千克,根据市场调查发现,批发价定为$48$元/千克时,每天可销售$500$千克,为增大市场占有率,在保证盈利的情况下,工厂采取降价措施,批发价每千克降低$1$元,每天销量可增加$50$千克。
(1)写出工厂每天的利润$W元与降价x$元之间的函数关系。当降价$2$元时,工厂每天的利润为多少元？
(2)当降价多少元时,工厂每天的利润最大,最大为多少元？
(3)若工厂每天的利润要达到$9750$元,并让利于民,则定价应为多少元？

答案： 解
(1)由题意得$W=(48-30-x)(500+50x)=-50x^{2}+400x+9000,$
当x=2时,W=(48-30-2)(500+50×2)=9600(元).
所以工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为$W=-50x^{2}+400x+9000,$当降价2元时,工厂每天的利润为9600元.
(2)由
(1)得$W=-50x^{2}+400x+9000=-50(x-4)^{2}+9800,$
故当x=4时,W取得最大值,为9800,即当降价4元时,工厂每天的利润最大,最大为9800元.
$(3)-50x^{2}+400x+9000=9750,$
解得$x_{1}=3,x_{2}=5.$
由题意知$x_{1}=3$不合题意,舍去,
故定价应为48-5=43(元).

10. (2021·河南中考)如图,抛物线$y = x^{2}+mx与直线y = -x + b相交于点A(2,0)和点B$。
(1)求$m和b$的值；
(2)求点$B$的坐标,并结合图象写出不等式$x^{2}+mx ＞ -x + b$的解集；
(3)点$M是直线AB$上的一个动点,将点$M向左平移3个单位长度得到点N$,若线段$MN$与抛物线只有一个公共点,直接写出点$M的横坐标x_{M}$的取值范围。

答案： 解
(1)将点A的坐标代入抛物线的解析式,得0=4+2m,解得m=-2,
将点A的坐标代入直线的解析式,得0=-2+b,解得b=2.
故m=-2,b=2.
(2)由
(1)得,直线和抛物线的解析式分别为y=-x+2,y=x^{2}-2x,
联立上述两个函数的解析式并解得$\begin{cases} x=-1, \\ y=3 \end{cases}$或$\begin{cases} x=2, \\ y=0 \end{cases}$(不符合题意,舍去),
即点B的坐标为(-1,3),从图象看,不等式x^{2}+mx＞-x+b的解集为x＜-1或x＞2.
(3)由题意,当x_{M}＜-1时,线段MN与抛物线没有公共点;
又点A和点B的水平距离为2-(-1)=3,OA=2,MN=3,则当-1≤x_{M}＜2时,线段MN与抛物线只有1个公共点;抛物线的顶点为点(1,-1),过顶点且平行于x轴的直线交直线y=-x+2于点(3,-1),则当2≤x_{M}＜3时,线段MN与抛物线有2个公共点;当x_{M}=3时,线段MN与抛物线只有1个公共点;当x_{M}＞3时,线段MN与抛物线没有公共点.
综上,-1≤x_{M}＜2或x_{M}=3.