《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

9. 如图,$ AB $ 是半圆的直径,$ AB = 2R $,$ C $,$ D $ 为半圆的三等分点,求阴影部分的面积。

答案： 解$\because \widehat {AC}=\widehat {BD},$
$\therefore ∠CDA=∠DAB$,即$CD// AB.$
$\therefore S_{\triangle ACD}=S_{\triangle OCD}.$
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形OCD}=\frac {nπR^{2}}{360}=\frac {60πR^{2}}{360}=\frac {πR^{2}}{6}.$

10. 如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ AC = BC = 1 $,将 $ Rt\triangle ABC $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 30^{\circ} $ 后得到 $ Rt\triangle ADE $,点 $ B $ 经过的路径为 $ \overset{\frown}{BD} $,则图中阴影部分的面积是(A)

A.$ \dfrac{\pi}{6} $
B.$ \dfrac{\pi}{3} $
C.$ \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{1}{2} $
D.$ \dfrac{1}{2} $

答案： A

11. 如图,$ \triangle ABC $ 内接于 $ \odot O $,$ \angle A = 60^{\circ} $,$ BC = 6\sqrt{3} $,则 $ \overset{\frown}{BC} $ 的长为(B)

A.$ 2\pi $
B.$ 4\pi $
C.$ 8\pi $
D.$ 12\pi $

答案： B

12. 如图,$ \triangle ABC $ 是正三角形,曲线 $ CDE … … $ 叫做“正三角形的渐开线”,其中 $ \overset{\frown}{CD} $,$ \overset{\frown}{DE} $,$ \overset{\frown}{EF} … $ 的圆心依次按 $ A $,$ B $,$ C $ 循环,它们依次相连接,若 $ AB = 1 $,则曲线 $ CDEF $ 的长是______。

4π

答案： $4π$

13. 如图,已知四边形 $ ABCD $ 内接于圆 $ O $,连接 $ BD $,$ \angle BAD = 105^{\circ} $,$ \angle DBC = 75^{\circ} $。
(1)求证：$ BD = CD $；
(2)若圆 $ O $ 的半径为 $ 3 $,求 $ \overset{\frown}{BC} $ 的长。

答案：
(1)证明
∵四边形ABCD内接于圆O,$\therefore ∠DCB+∠BAD=180^{\circ }.$
$\because ∠BAD=105^{\circ },\therefore ∠DCB=180^{\circ }-105^{\circ }=75^{\circ }.$
$\because ∠DBC=75^{\circ },\therefore ∠DCB=∠DBC=75^{\circ }.\therefore BD=CD.$
(2)解$\because ∠DCB=∠DBC=75^{\circ },\therefore ∠BDC=30^{\circ }.$
由圆周角定理,得$\widehat {BC}$的度数为$60^{\circ }$,故$\widehat {BC}=\frac {nπR}{180}=\frac {60π×3}{180}=π.$

★14. 如图,$ AB $ 为 $ \odot O $ 的直径,$ CD \perp AB $,$ OF \perp AC $,垂足分别为 $ E $,$ F $。
(1)请写出三条与 $ BC $ 有关的正确结论；
(2)当 $ \angle D = 30^{\circ} $,$ BC = 1 $ 时,求圆中阴影部分的面积。

答案： 解
(1)答案不唯一,只要合理均可.例如:
①$BC=BD$;②$OF// BC$;③$∠BCD=∠A;$
④$BC^{2}=CE^{2}+BE^{2};$
⑤$\triangle ABC$是直角三角形;
⑥$\triangle BCD$是等腰三角形.
(2)连接OC,则$OC=OA=OB.$
$\because ∠D=30^{\circ },\therefore ∠A=∠D=30^{\circ }.\therefore ∠AOC=120^{\circ }.$
∵AB为$\odot O$的直径,
$\therefore ∠ACB=90^{\circ }.$
在$Rt\triangle ABC$中,$BC=1,\therefore AB=2,AC=\sqrt {3}.$
$\because OF⊥AC,\therefore AF=CF.$
$\because OA=OB$,
∴OF是$\triangle ABC$的中位线.
$\therefore OF=\frac {1}{2}BC=\frac {1}{2}.$
$\therefore S_{\triangle AOC}=\frac {1}{2}AC\cdot OF=\frac {1}{2}×\sqrt {3}×\frac {1}{2}=\frac {\sqrt {3}}{4},$
$S_{扇形AOC}=\frac {1}{3}π×OA^{2}=\frac {π}{3}.$
$\therefore S_{阴影}=S_{扇形AOC}-S_{\triangle AOC}=\frac {π}{3}-\frac {\sqrt {3}}{4}.$