《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

10. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = ax^2 + 3 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $,过点 $ A $ 与 $ x $ 轴平行的直线交抛物线 $ y = \frac{1}{3}x^2 $ 于点 $ B $,$ C $,则 $ BC $ 的长为6。

答案： 6

11. 若抛物线 $ y = 2x^{m^2 - 4m - 3} + m - 5 $ 的顶点在 $ x $ 轴下方,则 $ m = $-1。

答案： -1

12. 已知直线 $ y = 2x $ 与抛物线 $ y = ax^2 + 3 $ 相交于点 $ (2, b) $。
(1)求 $ a $,$ b $ 的值；
(2)若直线 $ y = 2x $ 上纵坐标为 $ 2 $ 的点为 $ A $,抛物线 $ y = ax^2 + 3 $ 的顶点为 $ B $,求 $ \triangle AOB $ 的面积。

答案： 解
(1)因为点$(2,b)$在直线$y=2x$上,所以$b=4.$
又因为点$(2,b)$即点$(2,4)$在抛物线$y=ax^{2}+3$上,
所以$4a+3=4$.所以$a=\frac{1}{4}.$
(2)在$y=2x$中,令$y=2$,则$x=1$,所以点$A(1,2).$
又因为抛物线$y=\frac{1}{4}x^{2}+3$的顶点B为$(0,3),$
所以$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OB\cdot|x_{A}|=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}.$

★13. 已知抛物线 $ y = x^2 + 2m - m^2 $,根据下列条件分别求 $ m $ 的值。
(1)抛物线过原点；
(2)抛物线最低点的纵坐标为 $ -3 $。

答案： 解
(1)把$x=0,y=0$代入$y=x^{2}+2m-m^{2}$,得$2m-m^{2}=0$,解得$m_{1}=0,m_{2}=2.$
故当m为0或2时,抛物线过原点.
(2)$\because$抛物线最低点的纵坐标为-3,
$\therefore$抛物线过点$(0,-3).\therefore 2m-m^{2}=-3.$
$\therefore m_{1}=3,m_{2}=-1.$
$\therefore$当m为3或-1时,抛物线的最小值为-3.

1. (1)抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 与 $ y = ax^2 $ 的形状大小、开口方向都完全相同,但顶点和对称轴不同。
(2)抛物线 $ y = a(x - h)^2 $ 的顶点坐标为$(h,0)$,对称轴是$x=h$。
(3)抛物线 $ y = ax^2 $ 向左平移 $ h $ 个单位长度,即为抛物线$y=a(x+h)^2$,抛物线 $ y = ax^2 $ 向右平移 $ h $ 个单位长度,即为抛物线$y=a(x-h)^2$。

答案： 1.
(1)相同 顶点 对称轴
(2)$(h,0)$ $x=h$
(3)$y=a(x+h)^2$ $y=a(x-h)^2$

2. 一般地,抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $ 与 $ y = ax^2 $ 形状相同,位置不同。把抛物线 $ y = ax^2 $ 向上(下)、向左(右)平移,可以得到抛物线 $ y = a(x - h)^2 + k $。平移的方向、距离要根据$h,k$的值来决定。

答案： 平移 $h,k$

1. 抛物线 $ y = 3(x - 2)^2 + 5 $ 的顶点坐标是(C)
A.$ (-2, 5) $
B.$ (-2, -5) $
C.$ (2, 5) $
D.$ (2, -5) $

答案： C

2. 将抛物线 $ y = 6x^2 $ 向左平移 $ 1 $ 个单位长度,则平移后的抛物线的解析式为(D)
A.$ y = 6x^2 - 1 $
B.$ y = 6x^2 + 1 $
C.$ y = 6(x - 1)^2 $
D.$ y = 6(x + 1)^2 $

答案： D