《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

4. 如图,$AB是\odot O$的直径,$C是\odot O$上的点,过点$C作\odot O的切线交AB的延长线于点D$. 若$\angle A = 32^{\circ}$,则$\angle D = $26°.

答案： 26°

5. 如图,从$\odot O外一点P引圆的两条切线PA$,$PB$,切点分别为$A$,$B$,$OP交\overset{\frown}{AB}$,$AB于点C$,$D$. 下列结论：①$PO\perp AB$；②$\angle 3 = \angle 4$；③$\angle 1 = \angle 2$；④$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$；⑤$AD = BD$；⑥$OD = CD$,其中正确的是①②③④⑤.(填序号)

答案： ①②③④⑤

6. 若$\triangle ABC的内切圆的三个切点分别为D$,$E$,$F$,$\angle A = 75^{\circ}$,$\angle B = 45^{\circ}$,则圆心角$\angle EOF = $120度.

答案： 120

【例1】如图,$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,$AC$为直径,弦$BD = BA$,$BE\perp DC交DC的延长线于点E$.

求证：
(1)$\angle 1 = \angle BAD$；
(2)$BE是\odot O$的切线.

答案：
证明
(1)$\because BD = BA$,$\therefore \angle BDA = \angle BAD$. 由同弧所对的圆周角相等,得$\angle 1 = \angle BDA$,$\therefore \angle 1 = \angle BAD$.
(2)$\because BE\perp ED$,$\therefore \angle BDE + \angle EBD = 90^{\circ}$.
由同弧所对的圆周角相等,得
$\angle BDE = \angle BAC$,
$\therefore \angle BAC + \angle EBD = 90^{\circ}$.

连接$OB$,$OD$,$\because BD = BA$,$OB = OD = OA$,
$\therefore \triangle BOD\cong \triangle BOA$. $\therefore \angle BAC = \angle ABO = \angle DBO$. $\therefore \angle EBD + \angle DBO = 90^{\circ}$,即$OB\perp BE$. $\therefore BE是\odot O$的切线.

【例2】如图,$P为\odot O$外一点,$PA$,$PB为\odot O$的两条切线,$A和B$是切点,弦$AC// OP$. 求证：$BC是\odot O$的直径.

分析确定$BC$是直径,但题意中未指明$BC$经过圆心,可通过证明$\overset{\frown}{BC}所对的圆周角为90^{\circ}$,这由切线长的性质容易得到.

答案：
证明如图,连接$AB$,$OA$,$OB$,$BC$. 因为$PA$,$PB分别与\odot O相切于点A$,$B$,

所以$PA = PB$.
又因为$OA = OB$,
所以$OP是线段AB$的垂直平分线,即有$OP\perp AB$. 因为$AC// OP$,
所以$AC\perp AB$. 所以$\angle BAC = 90^{\circ}$.
所以$BC是\odot O$的直径.