《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

3. 已知竖直上抛的小球离地的高度与它运动时间之间是二次函数关系.小军相隔$1\mathrm{s}$依次竖直向上抛出两个小球.假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后$1.1\mathrm{s}$时到达相同的最大离地高度.第一个小球抛出后$t\mathrm{s}$时在空中与第二个小球的离地高度相同,则$t = $1.6.

答案： 1.6

4. 小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心竖直安装了一根高为$2\mathrm{m}$的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为$1\mathrm{m}$处达到最高,水柱落地处离池中心$3\mathrm{m}$.

(1) 请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式；
(2) 求出水柱的最大高度是多少？

答案： 解
(1)如图所示，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^{2}+h$，代入$(0,2)$和$(3,0)$得$\left\{\begin{array}{l} 4a+h=0,\\ a+h=2,\end{array}\right. $
解得$\left\{\begin{array}{l} a=-\frac {2}{3},\\ h=\frac {8}{3},\end{array}\right. $
所以抛物线的解析式为$y=-\frac {2}{3}(x-1)^{2}+\frac {8}{3}$，
即$y=-\frac {2}{3}x^{2}+\frac {4}{3}x+2(0＜x＜3).$
(2)$y=-\frac {2}{3}x^{2}+\frac {4}{3}x+2(0≤x≤3)$，
当$x=1$时，$y=\frac {8}{3}$，即水柱的最大高度为$\frac {8}{3}$m.

5. 如图,一小球沿与地面成一定角度的方向飞出,小球的飞行路线是一条抛物线,如果不考虑空气阻力,小球的飞行高度$y$(单位：$\mathrm{m}$)与飞行时间$x$(单位：$\mathrm{s}$)之间具有函数关系$y = -5x^{2}+20x$,请根据要求解答下列问题：

(1) 在飞行过程中,当小球的飞行高度为$15\mathrm{m}$时,飞行时间是多少？
(2) 在飞行过程中,小球从飞出到落地所用时间是多少？
(3) 在飞行过程中,小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

答案： 解
(1)当$y=15$时，$15=-5x^{2}+20x$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3.$
故在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s.
(2)当$y=0$时，$0=-5x^{2}+20x$，
解得$x_{3}=0$，$x_{4}=4.$
∵$4-0=4$，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s.
(3)$y=-5x^{2}+20x=-5(x-2)^{2}+20$，
∴当$x=2$时，y取得最大值，此时，$y=20.$
∴在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m.