《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

13. 如图,已知$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{AC}$,点$P为劣弧\overset{\frown}{BC}$上的一点.
(1)求$\angle BPC$的度数；
(2)求证：$PA = PB + PC$.

答案：
（1）解 $\because\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AC}$，$\therefore AB=BC=AC$.
$\therefore\angle BAC=60^{\circ}$.
又$\angle BPC+\angle BAC=180^{\circ}$，$\therefore\angle BPC=120^{\circ}$.
（2）证明 在 PA 上截取$PD=PC$，连接 DC，

$\because AB=AC=BC$，$\therefore\angle APB=\angle APC=60^{\circ}$.
$\therefore\triangle PCD$为等边三角形.
$\therefore\angle ADC=120^{\circ}$.
又$\angle CAD=\angle PBC$，且$AC=BC$，
$\therefore\triangle ACD\cong\triangle BCP$.
$\therefore AD=PB$.
$\therefore PA=PB+PC$.

★14. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$D是AB$的中点,以$DC为直径的\odot O交\triangle ABC的边于点G$,$F$,$E$.
求证：(1)$F是BC$的中点；
(2)$\angle A = \angle GEF$.

答案：
证明（方法1）（1）如图①，连接 DF.

$\because\angle ACB=90^{\circ}$，D 是 AB 的中点，
$\therefore BD=DC=\frac{1}{2}AB$.
$\because DC$是$\odot O$的直径，$\therefore DF\perp BC$.
$\therefore BF=FC$，即 F 是 BC 的中点.
（2）$\because D$，F 分别是 AB，BC 的中点，
$\therefore DF// AC$，$\angle A=\angle BDF$.
$\because\angle BDF=\angle GEF$，$\therefore\angle A=\angle GEF$.
（方法2）（1）如图②，连接 DF，DE.

$\because DC$是$\odot O$的直径，
$\therefore\angle DEC=\angle DFC=90^{\circ}$.
$\because\angle ECF=90^{\circ}$，
$\therefore$四边形 DECF 是矩形.
$\therefore EF=CD$，$DF=EC$.
$\because D$是 AB 的中点，$\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore EF=CD=BD=\frac{1}{2}AB$.
∴ Rt△DBF≌Rt△EFC
故$BF=FC$，即 F 是 BC 的中点.
（2）$\because\triangle DBF\cong\triangle EFC$，
$\therefore\angle BDF=\angle FEC$，$\angle B=\angle EFC$.
$\because\angle ACB=90^{\circ}$，（也可证$AB// EF$，得$\angle A=\angle FEC$）
$\therefore\angle A=\angle FEC$.
$\therefore\angle A=\angle BDF$，
$\because\angle FEG=\angle BDF$，
$\therefore\angle A=\angle GEF$.

1. 设$\odot O的半径为r$,点$P到圆心的距离OP = d$,则有：点$P在圆外\Leftrightarrow d$＞$r$；点$P在圆上\Leftrightarrow d$＝$r$；点$P在圆内\Leftrightarrow d$＜$r$。

答案： ＞；＝；＜

2. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

答案： 不在同一条直线上

3. 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心。

答案： 外接圆；外心

4. 在证明命题时,不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到原命题成立。这种方法叫做反证法。

答案： 直接；矛盾；不正确；成立