《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

1. 若二次函数 $ y = x^2 + \frac{1}{2} $ 与 $ y = -x^2 + k $ 的图象的顶点重合,则下列结论不正确的是(D)
A.这两个函数图象有相同的对称轴
B.这两个函数图象的开口方向相反
C.二次函数 $ y = -x^2 + k $ 的最大值为 $ \frac{1}{2} $
D.这两个函数图象的开口大小不同

答案： D

2. 若一次函数 $ y = ax - c $ 的图象如图所示,则二次函数 $ y = ax^2 + c $ 的图象大致为(D)

答案： D

3. 若二次函数 $ y = ax^2 + 1 $ 的图象经过点 $ (-2, 0) $,则关于 $ x $ 的方程 $ a(x - 2)^2 + 1 = 0 $ 的实数根为(A)
A.$ x_1 = 0 $,$ x_2 = 4 $
B.$ x_1 = -2 $,$ x_2 = 6 $
C.$ x_1 = \frac{3}{2} $,$ x_2 = \frac{5}{2} $
D.$ x_1 = -4 $,$ x_2 = 0 $

答案： A

4. 抛物线 $ y = 1 - \frac{1}{2}x^2 $ 可由抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 $ 向上平移1个单位长度得到。

答案： 上 1

5. 请你写出一个顶点坐标为 $ (0, -6) $ 的抛物线的解析式答案不唯一,如$y=x^{2}-6$,该抛物线的对称轴为y轴,它有最小函数值-6,在对称轴右侧,函数值 $ y $ 随 $ x $ 的减小而减小。

答案： 答案不唯一,如$y=x^{2}-6$ y轴 小 -6 减小

6. 任给一些不同的实数 $ k $,得到不同的抛物线 $ y = x^2 + k $,当 $ k $ 取 $ 0 $,$ \pm 1 $ 时,关于这些抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最低点。其中判断正确的是①②③④。

答案： ①②③④

7. 廊桥是我国古老的文化遗产。某座抛物线形的廊桥示意图如图所示,已知抛物线的函数解析式为 $ y = -\frac{1}{40}x^2 + 10 $,为保护廊桥的安全,在该抛物线上距水面 $ AB $ 高为 $ 8 $ m 的点 $ E $,$ F $ 处要安装两盏警示灯,则这两盏灯的水平距离 $ EF $ 是18m。(精确到 $ 1 $ m)

答案： 18

8. 画出函数 $ y = x^2 - 4 $ 的图象。
(1)求所画图象与 $ x $ 轴的交点坐标。
(2)当 $ x $ 为何值时,$ y ＞ 0 $？$ y ＜ 0 $ 呢？

答案： 解 画图象略.
(1)$\because$当$y=0$时,即$x^{2}-4=0$,
$\therefore x_{1}=2,x_{2}=-2.$
$\therefore$所画图象与x轴的交点坐标为$(2,0)$和$(-2,0).$
(2)由图象得当$x＜-2$或$x＞2$时,$y＞0$,当$-2＜x＜2$时,$y＜0.$

9. 已知抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 + 1 $ 具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 $ F(0, 2) $ 的距离与到 $ x $ 轴的距离始终相等,如图,点 $ M $ 的坐标为 $ (\sqrt{3}, 3) $,$ P $ 是抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 + 1 $ 上一个动点,则 $ \triangle PMF $ 周长的最小值是(C)

A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 5 $
D.$ 6 $

答案： C