《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

★11. 已知关于$x的方程2x^{2}+kx-10 = 0的一个根为\frac{5}{2}$,求它的另一个根及$k$的值。

答案： 解 把$x=\frac {5}{2}$代入$2x^{2}+kx-10=0$,得$2×\frac {25}{4}+\frac {5}{2}k-10=0$,解得$k=-1.$故原方程为$2x^{2}-x-10=0.$$\because a=2,b=-1,c=-10,$$\therefore b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×2×(-10)=81.$$\therefore x=\frac {1\pm \sqrt {81}}{2×2}=\frac {1\pm 9}{4}.\therefore x_{1}=\frac {5}{2},x_{2}=-2.$故它的另一根为-2,k的值为-1.

12. (1)用公式法解下列方程：①$x^{2}-2x-2 = 0$；②$2x^{2}+3x-1 = 0$；③$2x^{2}-4x+1 = 0$；④$x^{2}+6x+3 = 0$；
(2)上面的四个方程中,有三个方程的一次项系数有共同特点,请你用代数式表示这个特点,并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式。

答案： 12. 解
(1)①$\because a=1,b=-2,c=-2,$$\therefore x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}=\frac {2\pm \sqrt {4+8}}{2}=1\pm \sqrt {3}.$$\therefore x_{1}=1+\sqrt {3},x_{2}=1-\sqrt {3}.$②$\because a=2,b=3,c=-1,$$\therefore x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}=\frac {-3\pm \sqrt {9+8}}{4}=\frac {-3\pm \sqrt {17}}{4}.$$\therefore x_{1}=\frac {-3+\sqrt {17}}{4},x_{2}=\frac {-3-\sqrt {17}}{4}.$③$\because a=2,b=-4,c=1,$$\therefore x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}=\frac {4\pm \sqrt {16-8}}{4}=\frac {2\pm \sqrt {2}}{2}.$$\therefore x_{1}=\frac {2+\sqrt {2}}{2},x_{2}=\frac {2-\sqrt {2}}{2}.$④$\because a=1,b=6,c=3,$$\therefore x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}=\frac {-6\pm \sqrt {36-12}}{2}=-3\pm \sqrt {6}.$$\therefore x_{1}=-3+\sqrt {6},x_{2}=-3-\sqrt {6}.$
(2)方程①③④的一次项系数为偶数2n(n是整数).一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$,其中$b^{2}-4ac≥0,$$b=2n$,n为整数.$\because b^{2}-4ac≥0$,即$(2n)^{2}-4ac≥0,\therefore n^{2}-ac≥0.$$\therefore x=\frac {-b\pm \sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}=\frac {-2n\pm \sqrt {4n^{2}-4ac}}{2a}=\frac {-2n\pm 2\sqrt {n^{2}-ac}}{2a}=\frac {-n\pm \sqrt {n^{2}-ac}}{a}.$
∴一元二次方程$ax^{2}+2nx+c=0(n^{2}-ac≥0)$的求根公式为$\frac {-n\pm \sqrt {n^{2}-ac}}{a}.$

1. 在解一元二次方程时，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解法叫做因式分解法.

答案： 因式分解；0；0；降次

2. 配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便.总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次.

答案： 配方 求根公式 所有 降次

1. 下列一元二次方程不能运用因式分解法求解的是（D）
A.$x^{2}-x=0$
B.$4x^{2}-9=0$
C.$x^{2}-4x+4=0$
D.$x^{2}+3x+1=0$

答案： D

2. 用因式分解法把方程$(x - 5)(x + 1)=-5$分解成两个一次方程，正确的是（C）
A.$x - 5=1$，$x + 1=-5$
B.$x - 5=-5$，$x + 1=1$
C.$x=0$，$x - 4=0$
D.$x=0$，$x + 4=0$

答案： C

3. 方程$(x - 3)(x - 9)=0$的根是$x_{1}=3$,$x_{2}=9$.

答案： $x_{1}=3$,$x_{2}=9$