《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

2. 若$5k + 20＜0$,则关于$x的一元二次方程x^{2}+4x - k = 0$的根的情况是(A)
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法判断

答案： A

3. 若关于$x的方程(a - 5)x^{2}-4x - 1 = 0$有实数根,则$a$满足(A)
A.$a\geqslant1$
B.$a＞1$,且$a\neq5$
C.$a\geqslant1$,且$a\neq5$
D.$a\neq5$

答案： A

4. 如果关于$x的一元二次方程x^{2}-6x + c = 0$($c$是常数)没有实数根,那么$c$的取值范围是$c＞9$。

答案： $c＞9$

5. 判断下列方程根的情况：
(1)$3x^{2}-2x - 1 = 0$；(2)$6y(y - 1)+3 = 0$。

答案：
(1)$\because a=3,b=-2,c=-1,$$\therefore b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4×3×(-1)=16＞0.$故方程有两个不相等的实数根.
(2)原方程化为一般形式,得$6y^{2}-6y+3=0.$$\because a=6,b=-6,c=3,$$\therefore b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×6×3=-36＜0.$故原方程没有实数根.

6. 证明不论$m$为何值,关于$x的方程2x^{2}-(4m - 1)x-m^{2}-m = 0$总有两个不相等的实数根。

答案： 证明$\triangle =[-(4m-1)]^{2}-4×2×(-m^{2}-m)=24m^{2}+1＞0$,因此不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根.

7. 已知$a$,$b$,$c$为常数,点$P(a,c)$在第二象限,则关于$x的方程ax^{2}+bx + c = 0$根的情况是(B)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断

答案： B

8. 若关于$x的方程(m - 5)x^{2}+2x + 2 = 0$有实根,则实数$m$的最大整数解是5。

答案： 5

9. 关于$x的一元二次方程x^{2}-ax + a - 1 = 0$的根的情况是有实数根。

答案： 有实数根

10. 若关于$x的方程ax^{2}+2(a - 2)x + a = 0$有实数解,求实数$a$的取值范围。

答案： 解 当$a=0$时,则$-4x=0$,即$x=0;$当$a≠0$时,则$\triangle =4(a-2)^{2}-4a^{2}≥0$,解得$a≤1.$综上所述,a的取值范围为$a≤1.$

★11. 定义新运算：对于任意实数$m$,$n都有m☆n = m^{2}n + n$,等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算。例如：$-3☆2 = (-3)^{2}×2 + 2 = 20$。根据上述知识解决问题：若$2☆a的值小于0$,请判断关于$x的方程2x^{2}-bx + a = 0$的根的情况。

答案： 解 由题意,得$2^{2}×a+a＜0$,可得$a＜0.$于是对于方程$2x^{2}-bx+a=0$,有$\triangle =(-b)^{2}-4×2×a=b^{2}-8a＞0,$故方程$2x^{2}-bx+a=0$有两个不相等的实数根.