《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

【例 1】已知抛物线经过$(1,0)$,$(3,0)$,$(0,3)$三点,求该抛物线的解析式。

答案： 解(方法 1)设抛物线的解析式为$y = ax^{2}+bx + c$,$a\neq0$,把三点的坐标分别代入,得$\begin{cases}a + b + c = 0,\\9a + 3b + c = 0,\\c = 3,\end{cases} 解得\begin{cases}a = 1,\\b = -4,\\c = 3.\end{cases} 故抛物线的解析式为y = x^{2}-4x + 3$。
(方法 2)设抛物线的解析式为$y = a(x - x_{1})(x - x_{2})$,$a\neq0$,由题意,$x_{1}= 1$,$x_{2}= 3$,故$y = a(x - 1)(x - 3)$。
又抛物线过点$(0,3)$,因此$3 = a×(-1)×(-3)$,得$a = 1$。故抛物线的解析式为$y = (x - 1)(x - 3)= x^{2}-4x + 3$。
(方法 3)设抛物线的解析式为$y = a(x - h)^{2}+k$,$a\neq0$。由抛物线过点$(1,0)$,$(3,0)$,可知抛物线的对称轴为直线$x = 2$,故$h = 2$,$y = a(x - 2)^{2}+k$。将点$(1,0)$,$(0,3)$代入上式,得$\begin{cases}0 = a×(1 - 2)^{2}+k,\\3 = a×(-2)^{2}+k,\end{cases} 解得\begin{cases}a = 1,\\k = -1.\end{cases} $
故抛物线的解析式为$y = (x - 2)^{2}-1 = x^{2}-4x + 3$。

1. 如图,抛物线与$x轴交于点A(-5,0)和点B(3,0)$,与$y轴交于点C(0,5)$,求该抛物线的解析式。

答案： 解 根据题意知点A(-5,0),B(3,0)在x轴上,
设抛物线解析式为y=a(x+5)(x-3).
∵抛物线过点(0,5),
∴$a=-\dfrac{1}{3}.$
∴抛物线的解析式为$y=-\dfrac{1}{3}(x+5)(x-3)=-\dfrac{1}{3}x^{2}-\dfrac{2}{3}x+5.$