《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

1. 因为抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的顶点是最低(高)点,所以当 $ x = $$-\frac{b}{2a}$时,二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 有最小(大)值$\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。

答案： $-\frac{b}{2a}$ $\frac{4ac - b^{2}}{4a}$

2. 利用二次函数求最大利润时,若列出的二次函数图象的对称轴恰好在题目限定的自变量的范围内,则二次函数的最大值就是所要求的最大利润；当求得的二次函数图象的对称轴不在题目限定的自变量的范围内,我们先要搞清自变量的取值在对称轴左侧还是右侧,然后结合二次函数的增减性求出最大利润；当在不同的自变量取值范围内,函数表达式不同时,我们需要分段讨论,求出每种情况下的最大值,然后综合考虑。

答案： 大值　左　右　最大值

1. 某商店经营一种玩具,已知所获利润 $ y $(单位：元)与销售的单价 $ x $(单位：元)之间的关系为 $ y = -x^{2} + 24x + 2956 $,则获利最多为(B)
A.$ 3144 $ 元
B.$ 3100 $ 元
C.$ 144 $ 元
D.$ 2956 $ 元

答案： B

2. 用长度一定的绳子围成一个矩形,如果矩形的一边长 $ x $(单位：$ m $)与面积 $ y $(单位：$ m^{2} $)满足函数关系 $ y = -(x - 12)^{2} + 144(0 ＜ x ＜ 24) $,那么该矩形面积的最大值为144$ m^{2} $。

答案： 144

3. 某商场购进一批单价为 $ 20 $ 元的日用商品,如果以单价 $ 30 $ 元销售,那么半月内可销售出 $ 400 $ 件,根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高 $ 1 $ 元,销售量相应减少 $ 20 $ 件,当销售单价是35元时,才能在半月内获得最大利润。

答案： 35

4. 某自行车店在销售某型号自行车时,以高出进价的 $ 50\% $ 标价。已知按标价九折销售该型号自行车 $ 8 $ 辆与将标价直降 $ 100 $ 元销售 $ 7 $ 辆获利相同。
(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？
(2)若该型号自行车的进价不变,按(1)中的标价出售,则该店平均每月可售出 $ 51 $ 辆；若每辆自行车每降价 $ 20 $ 元,则每月可多售出 $ 3 $ 辆,求该型号自行车降价多少元时,每月获利最大？最大利润是多少？

答案： 解
(1)设进价为x元，则标价是1.5x元，由题意,得$1.5x×0.9×8 - 8x = (1.5x - 100)×7 - 7x$，解得$x = 1000$，$1.5×1000 = 1500$。故进价为1000元，标价为1500元。
(2)设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意,得$w = (51 + \frac{a}{20}×3)(1500 - 1000 - a)=-\frac{3}{20}(a - 80)^{2}+26460$。由$-\frac{3}{20}＜0$，知当$a = 80$时，$w_{最大}= 26460$。故该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元。