《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

15. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为 $ 30m $ 的篱笆围成. 已知墙长为 $ 18m $(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为 $ xm $.
(1)若苗圃园的面积为 $ 72m^{2} $,求 $ x $.
(2)若平行于墙的一边长不小于 $ 8m $,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有,求出最大值和最小值；如果没有,请说明理由.
(3)当这个苗圃园的面积不小于 $ 100m^{2} $ 时,直接写出 $ x $ 的取值范围.

答案： 解
(1)根据题意得x(30-2x)=72,解得x₁=12,x₂=3.当x₂=3时,与墙平行的一边长为30-2x=24＞18,x₂不合题意,舍去,故取x=12.即垂直于墙的一边的长为12m.
(2)根据题意得{30-2x≥8,{30-2x≤18,解得6≤x≤11,S=x(30-2x)=-2x²+30x=-2(x-15/2)²+225/2.当x=11时,S有最小值为88m²,x=15/2时,S有最大值为225/2m².
(3)6≤x≤10.

16. 把一个足球垂直于水平地面向上踢,时间为 $ t $(单位：$ s $)时该足球距离地面的高度 $ h $(单位：$ m $)适用公式 $ h = 20t - 5t^{2} $($ 0 \leq t \leq 4 $).
(1)当 $ t = 3 $ 时,求足球距离地面的高度；
(2)当足球距离地面的高度为 $ 10m $ 时,求 $ t $ 的值；
(3)若存在实数 $ t_{1} $ 和 $ t_{2} $($ t_{1} \neq t_{2} $),当 $ t = t_{1} $ 或 $ t = t_{2} $ 时,足球距离地面的高度都为 $ m $(单位：$ m $),求 $ m $ 的取值范围.

答案： 解
(1)
∵当t=3时,h=20t-5t²=20×3-5×3²=60-5×9=60-45=15(m),
∴当t=3时,足球距离地面的高度为15m.
(2)
∵当h=10时,20t-5t²=10,t²-4t+2=0,解得t=2±√2,
∴当足球距离地面的高度为10m时,t的值为2±√2.
(3)
∵h=20t-5t²=-5(t²-4t)=-5(t²-4t+4-4)=-5(t-2)²+20,
∴抛物线h=20t-5t²的顶点坐标为(2,20).
∵存在实数t₁和t₂(t₁≠t₂),当t=t₁或t=t₂时,足球距离地面的高度都为m(m),
∴m的取值范围是0≤m＜20.