《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

【例 1】如图,三个圆的圆心都是 $ O $,其中最大圆的半径是 1,求阴影部分的面积。

答案： 分析 阴影部分由 $ S_1 $,$ S_2 $,$ S_3 $ 三部分组成,单独求出 $ S_1 $,$ S_2 $,$ S_3 $ 是不可能的,如果运用旋转的方法,把 $ S_1 $,$ S_2 $,$ S_3 $ 旋转到一起,那么刚好是一个扇形,这样就可求解了。
解 将 $ S_1 $ 旋转 $ 180° $,$ S_2 $ 顺时针旋转 $ 90° $,则 $ S_1 $,$ S_2 $,$ S_3 $ 拼成一个扇形,该扇形占整个大圆的 $ \dfrac{1}{4} $,
故 $ S_{阴影} = \dfrac{1}{4}\pi × 1^2 = \dfrac{\pi}{4} $。

1. 如图,等腰直角三角形 $ ABC $ 的直角边 $ AB $ 的长为 $ 6 cm $,将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 15° $ 后得到 $ \triangle AB'C' $,则图中阴影部分的面积等于 $6\sqrt{3}$ $ cm^2$。

答案： $6\sqrt{3}$ 因为$\angle B'AD=\angle B'AC'-\angle DAC'=45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ}$,所以$B'D=\frac{1}{2}AD$.
设$B'D=x\ cm$,则$AD=2x\ cm$,由勾股定理,得$B'D=2\sqrt{3}\ cm$.
所以$S_{阴影}=\frac{1}{2}× 2\sqrt{3}× 6=6\sqrt{3}(cm^2)$.

【例 2】请你在如图的 3 个网格(两相邻格点的距离均为 1 个单位长度)内,分别设计 1 个图案,要求：在(1)中所设计的图案是面积等于 $ \sqrt{3} $ 的轴对称图形；在(2)中所设计的图案是面积等于 $ 2\sqrt{3} $ 的中心对称图形；在(3)中所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形,并且面积等于 $ 3\sqrt{3} $。将你设计的图案用铅笔涂黑。

答案：
分析 由网格中任意两个相邻格点的距离均为 1,可知每 3 个不在同一条直线上的相邻格点所构成的等边三角形的面积为 $ \dfrac{\sqrt{3}}{4} $,故面积为 $ \sqrt{3} $ 的图形应由 4 个这样的三角形组成,由此不难设计出符合要求的图案,其余可类推。
解