《2025年同步解析与测评学考练九年级数学上册人教版》

★12. 已知 $ m $,$ n $ 是方程 $ x^{2} - 6x + 5 = 0 $ 的两个实数根,且 $ m ＜ n $,抛物线 $ y = -x^{2} + bx + c $ 经过点 $ A(m,0) $,$ B(0,n) $,如图。

(1)求这个抛物线的解析式；
(2)设(1)中抛物线与 $ x $ 轴的另一交点为 $ C $,抛物线的顶点为 $ D $,试求出点 $ C $,$ D $ 的坐标和 $ \triangle BCD $ 的面积；
(3)$ P $ 是线段 $ OC $ 上的一点,过点 $ P $ 作 $ PH \perp x $ 轴,与抛物线交于点 $ H $。若直线 $ BC $ 把 $ \triangle PCH $ 分成面积之比为 $ 2 : 3 $ 的两部分,请求出点 $ P $ 的坐标。

答案：

(1)解方程$x^{2}-6x+5=0$,得$x_{1}=5,x_{2}=1.$
由$m＜n$,可知$m=1,n=5$,所以点A,B的坐标分别为$(1,0),(0,5).$
将$(1,0),(0,5)$分别代入$y=-x^{2}+bx+c$,得$\left\{\begin{array}{l} -1+b+c=0,\\ c=5,\end{array}\right. $解这个方程组得$\left\{\begin{array}{l} b=-4,\\ c=5,\end{array}\right. $
所以抛物线的解析式为$y=-x^{2}-4x+5.$
(2)由$y=-x^{2}-4x+5$,令$y=0$,得$-x^{2}-4x+5=0$,解这个方程,得$x_{1}=-5,x_{2}=1,$
所以点$C$的坐标为$(-5,0).$
由顶点坐标公式计算得点$D(-2,9).$
如图,过点D作x轴的垂线,交x轴于点M,则$S_{\triangle DMC}=\frac {1}{2}×9×(5-2)=\frac {27}{2},$
　　　　　　　　
$S_{梯形MDBO}=\frac {1}{2}×2×(9+5)=14,S_{\triangle BOC}=\frac {1}{2}×5×5=\frac {25}{2}$,所以$S_{\triangle BCD}=S_{梯形MDBO}+S_{\triangle DMC}-S_{\triangle BOC}=14+\frac {27}{2}-\frac {25}{2}=15.$
(3)设点P的坐标为$(a,0),$
因为线段BC过B,C两点,
所以BC所在的直线方程为$y=x+5.$
那么,可设PH与直线BC的交点E的坐标为$(a,a+5)$,PH与抛物线$y=-x^{2}-4x+5$的交点H的坐标为$(a,-a^{2}-4a+5).$
由题意,得①$EH=\frac {3}{2}EP,$
即$(-a^{2}-4a+5)-(a+5)=\frac {3}{2}(a+5),$
解这个方程,得$a=-\frac {3}{2}$或$a=-5$(舍去).
②$EH=\frac {2}{3}EP$,即$(-a^{2}-4a+5)-(a+5)=\frac {2}{3}(a+5),$
解这个方程,得$a=-\frac {2}{3}$或$a=-5$(舍去).
因此点P的坐标为$(-\frac {3}{2},0)$或$(-\frac {2}{3},0).$

★13. 已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象过点 $ A(2,0) $,且与函数 $ y = -\frac{3}{4}x + 3 $ 的图象相交于 $ B $,$ C $ 两点,点 $ B $ 在 $ x $ 轴上,点 $ C $ 在 $ y $ 轴上。
(1)求该二次函数的解析式。
(2)若 $ P(x,y) $ 是线段 $ BC $ 上的动点,$ O $ 为坐标原点,试求 $ \triangle AOP $ 的面积 $ S_{\triangle AOP} $ 与 $ x $ 之间的函数解析式,并求自变量 $ x $ 的取值范围。
(3)是否存在这样的点 $ P $,使 $ PO = AO $？若存在,求出点 $ P $ 的坐标；若不存在,请说明理由。

答案：

(1)由题意,可知函数$y=-\frac {3}{4}x+3$的图象与x轴交于点$B(4,0)$,与y轴交于点$C(0,3)$,所以$c=3.$
把$A(2,0),B(4,0)$代入$y=ax^{2}+bx+3$,得$\left\{\begin{array}{l} 4a+2b+3=0,\\ 16a+4b+3=0,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} a=\frac {3}{8},\\ b=-\frac {9}{4},\end{array}\right. $
所以所求函数的解析式为$y=\frac {3}{8}x^{2}-\frac {9}{4}x+3.$
(2)如图所示,$S_{\triangle AOP}=\frac {1}{2}OA\cdot y=\frac {1}{2}×2\cdot y=y=-\frac {3}{4}x+3(0≤x＜4).$
　　　　　　　
(3)不存在这样的点P,使$PO=AO$.理由:设存在这样的点$P(x_{0},y_{0})$,满足$PO=AO$,则$PO=2$.如图,$PO=\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}$,所以$x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=4.$
又因为$y_{0}=-\frac {3}{4}x_{0}+3,$
所以$25x_{0}^{2}-72x_{0}+80=0.$
因为$b^{2}-4ac=(-72)^{2}-4×25×80=-2816＜0$,所以此一元二次方程无解.
故不存在这样的点P,使$PO=AO.$